Encontre os pontos de mínimo e máximo da função f no intervalo I, em cada caso a seguir.
f(x)=x^5+x+1, I=[-1,1]

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar os pontos de mínimo e máximo da função f(x)=x^5+x+1 no intervalo I=[-1,1]. O conteúdo é cálculo de derivada e análise de monotonicidade para localizar extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=5x^4+1
Para encontrar pontos críticos, resolveríamos f'(x)=0, ou seja,
5x^4+1=0
Mas essa equação não tem solução real, pois 5x^4>=0 implica 5x^4+1>=1>0.

Passo 3

Como f'(x)=5x^4+1>0 para todo xinR, a função é estritamente crescente em [-1,1]. Logo, não há extremos internos e os únicos candidatos são os extremos do intervalo.

Passo 4

Avaliamos f nos pontos finais:
f(-1)=(-1)^5+(-1)+1=-1-1+1=-1,
f(1)=1^5+1+1=3

Passo 5

Como a função é crescente, o menor valor ocorre em x=-1 e o maior em x=1.

Resposta

O ponto de mínimo é l(-1,f(-1)r)=(-1,-1) e o ponto de máximo é l(1,f(1)r)=(1,3).

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