Encontre os pontos na superfície:
x^{2}-y^{2}-z^{2}=-8 onde o plano tangente é paralelo ao plano $4 x-8 y-z=1.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os pontos na superfície x^{2}-y^{2}-z^{2}=-8 onde o plano tangente é paralelo ao plano 4x-8y-z=1.”\n
Informações dadas:
  • A superfície é dada pela equação x^{2}-y^{2}-z^{2}=-8.
  • O plano cujo paralelismo interessa é 4x-8y-z=1.
  • Queremos os pontos da superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano dado.

Passo 2

Estratégia conceitual (aula rapidinha do porquê): para uma superfície dada por uma equação de nível \;F(x,y,z)=0\;, o vetor gradiente \nabla F(x,y,z) é normal ao plano tangente naquela superfície em cada ponto. Logo, se queremos que o plano tangente seja paralelo a outro plano fixo, basta pedir que os vetores normais sejam colineares (paralelos).\n
Aqui vou transformar a superfície numa função nivelada F. Defino
F(x,y,z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}+8,
porque a superfície original é o nível F(x,y,z)=0. Agora calculo o gradiente.

Passo 3

Cálculo do gradiente (passo-a-passo do cálculo):
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Derivando termo a termo:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=-2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=-2z.
Portanto
\nabla F(x,y,z)=(2x,-2y,-2z).

Passo 4

Usando o paralelismo entre planos: o plano 4x-8y-z=1 tem vetor normal dado pelos coeficientes das variáveis, ou seja
\mathbf{n}=(4,-8,-1).
Para que o plano tangente à superfície em (x,y,z) seja paralelo a esse plano, é necessário e suficiente que \nabla F(x,y,z) seja um múltiplo escalar de \mathbf{n}. Sendo \lambda esse escalar, escrevemos o sistema
(2x,-2y,-2z)=\lambda(4,-8,-1).
Isto gera três equações escalares:
2x=4\lambda,\qquad -2y=-8\lambda,\qquad -2z=-\lambda.

Passo 5

Resolvo as equações anteriores para expressar x,y,z em função de \lambda:
x=2\lambda,\qquad y=4\lambda,\qquad z=\frac{\lambda}{2}.
Agora imponho que o ponto (x,y,z) satisfaça a equação da superfície \;x^{2}-y^{2}-z^{2}=-8\;. Substituo as expressões em função de \lambda.

Passo 6

Substituição e álgebra (faça isso devagar na prova):
x^{2}-y^{2}-z^{2}=(2\lambda)^{2}-(4\lambda)^{2}-\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{2}.
Calculo cada termo:
(2\lambda)^{2}=4\lambda^{2},\quad (4\lambda)^{2}=16\lambda^{2},\quad \left(\frac{\lambda}{2}\right)^{2}=\frac{\lambda^{2}}{4}.
Então
4\lambda^{2}-16\lambda^{2}-\frac{\lambda^{2}}{4}=-8.
Juntando os coeficientes de \lambda^{2}:
\left(4-16-\frac{1}{4}\right)\lambda^{2}=-8.
Calculo o parêntese:
4-16=-12,\quad -12-\frac{1}{4}=-\frac{49}{4}.
Logo
-\frac{49}{4}\lambda^{2}=-8.
Multiplico por -1 e isolo \lambda^{2}:
\frac{49}{4}\lambda^{2}=8 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=\frac{8\cdot 4}{49}=\frac{32}{49}.
Portanto
\lambda=\pm\sqrt{\frac{32}{49}}=\pm\frac{4\sqrt{2}}{7}.

Passo 7

Agora encontro as coordenadas substituindo os dois valores de \lambda nas fórmulas x=2\lambda,\;y=4\lambda,\;z=\lambda/2.\n
Para \lambda=\dfrac{4\sqrt{2}}{7}:
x=2\lambda=\frac{8\sqrt{2}}{7},\qquad y=4\lambda=\frac{16\sqrt{2}}{7},\qquad z=\frac{\lambda}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{7}.
Para \lambda=-\dfrac{4\sqrt{2}}{7}:
x=2\lambda=-\frac{8\sqrt{2}}{7},\qquad y=4\lambda=-\frac{16\sqrt{2}}{7},\qquad z=\frac{\lambda}{2}=-\frac{2\sqrt{2}}{7}.
Esses dois pontos pertencem à superfície (pode checar substituindo na equação) e satisfazem a condição de paralelismo.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{8\sqrt{2}}{7},\;\frac{16\sqrt{2}}{7},\;\frac{2\sqrt{2}}{7}\right)\n
\displaystyle \left(-\frac{8\sqrt{2}}{7},\;-\frac{16\sqrt{2}}{7},\;-\frac{2\sqrt{2}}{7}\right)

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