Encontre os pontos na superfície:
onde o plano tangente é paralelo ao plano $4 x-8 y-z=1.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os pontos na superfície
onde o plano tangente é paralelo ao plano
.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A superfície é dada pela equação
. - O plano cujo paralelismo interessa é
. - Queremos os pontos da superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano dado.
Passo 2
Estratégia conceitual (aula rapidinha do porquê): para uma superfície dada por uma equação de nível
, o vetor gradiente
é normal ao plano tangente naquela superfície em cada ponto. Logo, se queremos que o plano tangente seja paralelo a outro plano fixo, basta pedir que os vetores normais sejam colineares (paralelos).\n
Aqui vou transformar a superfície numa função nivelada . Defino
Aqui vou transformar a superfície numa função nivelada
porque a superfície original é o nível
. Agora calculo o gradiente.
Passo 3
Cálculo do gradiente (passo-a-passo do cálculo):
Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 4
Usando o paralelismo entre planos: o plano
tem vetor normal dado pelos coeficientes das variáveis, ou seja
Para que o plano tangente à superfície em
seja paralelo a esse plano, é necessário e suficiente que
seja um múltiplo escalar de
. Sendo
esse escalar, escrevemos o sistema
Isto gera três equações escalares:
Passo 5
Resolvo as equações anteriores para expressar
em função de
:
Agora imponho que o ponto
satisfaça a equação da superfície
. Substituo as expressões em função de
.
Passo 6
Substituição e álgebra (faça isso devagar na prova):
Calculo cada termo:
Então
Juntando os coeficientes de
:
Calculo o parêntese:
Logo
Multiplico por
e isolo
:
Portanto
Passo 7
Agora encontro as coordenadas substituindo os dois valores de
nas fórmulas
.\n
Para :
Para
Para
:
Esses dois pontos pertencem à superfície (pode checar substituindo na equação) e satisfazem a condição de paralelismo.