Encontre a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}: x-y+z-1=0 e \pi_{2}:-x+3 y+4 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a posição relativa entre os planos \pi_{1}: x-y+z-1=0 e \pi_{2}:-x+3y+4z+1=0.
Informações dadas:
\pi_{1}: x-y+z-1=0
\pi_{2}: -x+3y+4z+1=0
Pergunta explícita: qual é a posição relativa entre esses dois planos? (por exemplo: paralelos distintos, coincidentes ou secantes — intersectando numa reta).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do método que vamos usar): para determinar a posição relativa entre dois planos no espaço \mathbb{R}^3 nós usamos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é (a,b,c). Se os vetores normais forem múltiplos escalares um do outro, os planos são paralelos (podendo ser coincidentes se as equações forem compatíveis). Se os vetores normais não forem múltiplos, os planos não são paralelos e então se intersectam numa reta. Vou usar esse método porque é direto e rápido para decidir paralelismo/posição, e depois, se necessário, encontrar a reta de interseção resolvendo o sistema linear formado pelas duas equações.

Passo 3

Calcular os vetores normais de cada plano e explicar o porquê:
O plano \pi_{1} tem coeficientes a=1, b=-1, c=1, então seu vetor normal é
\mathbf{n}_1 = (1,-1,1).
O plano \pi_{2} tem coeficientes a=-1, b=3, c=4, então seu vetor normal é
\mathbf{n}_2 = (-1,3,4).
Explicação rápida: o vetor normal aponta numa direção perpendicular ao plano; comparar essas direções diz se os planos são paralelos.

Passo 4

Verificar se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são múltiplos escalares (ou seja, existe \lambda tal que \mathbf{n}_1=\lambda \mathbf{n}_2).
Suponha que exista \lambda com
(1,-1,1)=\lambda(-1,3,4).
Isso dá as igualdades escalares:
1 = \lambda(-1),\qquad -1 = \lambda(3),\qquad 1 = \lambda(4).
Das três, da primeira temos \lambda = -1. Substituindo na segunda, -1 \stackrel{?}{=} -1\cdot 3 = -3, o que é falso. Da terceira, 1 \stackrel{?}{=} -1\cdot 4 = -4, também falso. Como não existe \lambda que satisfaça todas as três igualdades, os vetores normais não são múltiplos escalares.

Passo 5

Conclusão imediata da verificação: como \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são paralelos, os planos \pi_{1} e \pi_{2} não são paralelos. Em \mathbb{R}^3, dois planos não paralelos necessariamente se intersectam ao longo de uma reta (isto é uma propriedade geométrica básica). Portanto os planos são secantes (intersectam numa reta). Vou agora encontrar explicitamente a reta de interseção — isto ajuda a fixar o conceito e é útil para a prova.

Passo 6

Encontrar a reta de interseção resolvendo o sistema formado pelas duas equações dos planos:
\begin{cases} x - y + z = 1,\\[4pt] - x + 3y + 4z = -1. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar x:
(x - y + z) + (-x + 3y + 4z) = 1 + (-1).
No lado esquerdo os x se cancelam, ficando
2y + 5z = 0.
Daí isolamos y:
y = -\frac{5}{2}z.
Como temos duas equações e três incógnitas, usamos um parâmetro para z. Seja z=t. Então
y = -\frac{5}{2}t.
Agora substituímos em uma das equações originais (uso a primeira):
x - y + z = 1 \quad\Rightarrow\quad x -\Big(-\frac{5}{2}t\Big) + t = 1.
Isso dá
x + \frac{5}{2}t + t = 1 \quad\Rightarrow\quad x + \frac{7}{2}t = 1.
Logo
x = 1 - \frac{7}{2}t.
Portanto a solução geral do sistema em função do parâmetro t é
(x,y,z) = \Big(1 - \tfrac{7}{2}t,\; -\tfrac{5}{2}t,\; t\Big).]

Passo 7

Para ficar com parâmetros inteiros e uma forma mais limpa, escolhemos t=2s. Substituindo t=2s obtemos
x = 1 - 7s,\qquad y = -5s,\qquad z = 2s.
Logo a reta de interseção pode ser escrita em forma paramétrica:
(x,y,z) = (1,0,0) + s(-7,-5,2),\qquad s\in\mathbb{R}.
Aqui (1,0,0) é um ponto da reta (quando s=0) e \mathbf{v}=(-7,-5,2) é o vetor diretor.

Passo 8

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Conferir que o ponto (1,0,0) pertence a ambos os planos:
\text{em }\pi_{1}:\;1-0+0-1=0\quad\checkmark,
\text{em }\pi_{2}:\;-1+0+0+1=0\quad\checkmark.
  • Conferir que o vetor diretor \mathbf{v}=(-7,-5,2) é ortogonal aos dois normais (isto garante que a reta está na interseção):
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{v} = (1,-1,1)\cdot(-7,-5,2) = -7 +5 +2 =0,
\mathbf{n}_2\cdot\mathbf{v} = (-1,3,4)\cdot(-7,-5,2) = 7 -15 +8 =0.
Ambas as igualdades são verdadeiras, confirmando que \mathbf{v} é paralelo à interseção.

Resposta

Os planos são secantes (intersectam numa reta). A reta de interseção é
(x,y,z)=(1,0,0)+s(-7,-5,2),\qquad s\in\mathbb{R}.

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