Encontre a posição relativa entre a reta
e o plano
onde
e
:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a posição relativa entre a reta
e o plano
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Do enunciado extraímos explicitamente:
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o vetor normal
de um plano é um vetor perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano. Se a direção da reta
for perpendicular a
, então a reta não atravessa o plano — ela é paralela ao plano. Para verificar se dois vetores são perpendiculares usamos o produto escalar (dot product). Definição do produto escalar entre
e
:
Se
, então
e
são perpendiculares.
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso caso: calculemos
com
e
.
Como
, concluímos que
é perpendicular a
, isto é, a reta
é paralela ao plano
.
Passo 4
Agora precisamos distinguir entre duas possibilidades quando a reta é paralela ao plano:
- a reta está contida no plano (ou seja, todo ponto da reta satisfaz a equação do plano); ou
- a reta é paralela e distinta (não há pontos em comum), isto é,
.
Critério prático: pegue um ponto qualquer da reta (usamos
) e substitua na equação do plano. Se a igualdade for satisfeita, a reta está contida no plano; se não, a reta não intersecta o plano.
Passo 5
Substituindo
na equação do plano
:
Como a substituição não satisfaz a equação do plano,
não pertence a
. Portanto a reta
não está contida no plano.
Passo 6
Conclusão combinando os passos anteriores:
implica que
é paralela a
, e como um ponto da reta não pertence ao plano, a reta é paralela e distinta do plano — não se intersectam.