Encontre a posição relativa entre a reta r e o plano \pi onde r:(x, y, z)=(1,0,2)+(2 t, t, 3 t) e \pi : 1 x-5 y+z+1=0

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a posição relativa entre a reta r e o plano \pi.\n
Informações dadas:
r: (x,y,z)=(1,0,2)+(2t,t,3t)
\pi: 1x-5y+z+1=0
Do enunciado extraímos explicitamente:
\text{um ponto da reta }r \Rightarrow P_0=(1,0,2)
\text{vetor diretor da reta }r \Rightarrow \vec{v}=(2,1,3)
\text{vetor normal do plano } \pi \Rightarrow \vec{n}=(1,-5,1)

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o vetor normal \vec{n} de um plano é um vetor perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano. Se a direção da reta \vec{v} for perpendicular a \vec{n}, então a reta não atravessa o plano — ela é paralela ao plano. Para verificar se dois vetores são perpendiculares usamos o produto escalar (dot product). Definição do produto escalar entre \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3):
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Se \vec{a}\cdot\vec{b}=0, então \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: calculemos \vec{v}\cdot\vec{n} com \vec{v}=(2,1,3) e \vec{n}=(1,-5,1).
\vec{v}\cdot\vec{n}=2\cdot 1 + 1\cdot(-5) + 3\cdot 1 = 2-5+3 = 0.
Como \vec{v}\cdot\vec{n}=0, concluímos que \vec{v} é perpendicular a \vec{n}, isto é, a reta r é paralela ao plano \pi.

Passo 4

Agora precisamos distinguir entre duas possibilidades quando a reta é paralela ao plano:
  1. a reta está contida no plano (ou seja, todo ponto da reta satisfaz a equação do plano); ou
  2. a reta é paralela e distinta (não há pontos em comum), isto é, r\cap\pi=\varnothing.
Critério prático: pegue um ponto qualquer da reta (usamos P_0=(1,0,2)) e substitua na equação do plano. Se a igualdade for satisfeita, a reta está contida no plano; se não, a reta não intersecta o plano.

Passo 5

Substituindo P_0=(1,0,2) na equação do plano \pi: x-5y+z+1=0:
1\cdot 1 -5\cdot 0 + 1\cdot 2 + 1 = 1+0+2+1 = 4 \neq 0.
Como a substituição não satisfaz a equação do plano, P_0 não pertence a \pi. Portanto a reta r não está contida no plano.

Passo 6

Conclusão combinando os passos anteriores: \vec{v}\cdot\vec{n}=0 implica que r é paralela a \pi, e como um ponto da reta não pertence ao plano, a reta é paralela e distinta do plano — não se intersectam.

Resposta

r\parallel\pi e r\cap\pi=\varnothing

Exercícios relacionados