Encontre a posição relativa entre os planos:
pi1: x-y+2 z+3=0, pi2: 3 x+5 y-4 z=0

Passo 1

O enunciado dá dois planos
pi1:;x - y + 2z + 3 = 0, pi2:;3x + 5y - 4z = 0
e pede a posição relativa entre eles. O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: saber se dois planos são paralelos, coincidentes ou se se interceptam segundo uma reta.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano:
n1 = (1,-1,2) para pi1 e
n2 = (3,5,-4) para pi2.
Para que os planos fossem paralelos (ou coincidentes), precisaríamos ter
n1 = lambda,n2
para algum escalar lambda.

Passo 3

Verificamos se existe lambda tal que
(1,-1,2) = lambda,(3,5,-4)
Da primeira componente viria lambda = 1/3, mas daí a segunda componente exigiria -1 = tfrac13cdot5, o que não vale. Logo, não há lambda que torne n1 paralelo a n2. Concluímos que os planos não são paralelos, portanto se cruzam.

Passo 4

Como não são paralelos, a interseção é uma reta. Para obter sua equação paramétrica, resolvemos o sistema
x - y + 2z + 3 = 0, 3x + 5y - 4z = 0
Escolhendo z = t, da segunda equação temos
3x + 5y = 4t
e da primeira
x = y - 2t - 3
Substituindo x na segunda:
3(y - 2t - 3) + 5y = 4t Longrightarrow 8y = 10t + 9 Longrightarrow y = 10t + 98
E então
x = 10t + 98 ;-;2t ;-;3 = -6t + 158
Logo, uma forma paramétrica da reta de interseção é
x(t) = -dfrac6t + 158, y(t) = dfrac10t + 98, z(t) = t

Resposta

Os dois planos não são paralelos e intersectam-se segundo uma reta.

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