Encontre a posição relativa entre as retas:
r1:(x, y, z)=(1,2,3)+(t,-2 t, t), r2:(x, y, z)=(-1,1,0)+(-2 s, 4 s,-2 s)

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica:
r1:,(x,y,z)=(1,2,3)+t,(1,-2,1),
r2:,(x,y,z)=(-1,1,0)+s,(-2,4,-2)
O objetivo é determinar a posição relativa entre elas (intersectam, são paralelas, coincidentes ou reversas). Para isso, vamos usar conceitos de vetores direção e verificar se há interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores direção de cada reta:
v1=(1,-2,1), v2=(-2,4,-2)
Observe que
v2=-2,(1,-2,1)=-2,v1,
ou seja, v1 e v2 são colineares. Isso implica que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 3

Para decidir entre paralelas distintas ou coincidentes, verificamos se algum ponto de r2 pertence a r1. Procuramos t e s tais que
1+t=-1-2s, 2-2t=1+4s, 3+t=-2s
Das duas primeiras equações obtemos
t+2s=-2, 2t+4s=1
Da terceira vem
t+2s=-3
Como t+2s não pode ser simultaneamente -2 e -3, não há solução comum. Logo, não existe interseção.

Resposta

As retas são paralelas e distintas.

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