Encontre a posição relativa entre os planos:
pi1: 2 x+y-z+4=0, pi2:-4 x-2 y+2 z-1=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa de dois planos em R^3:
pi1:2x+y-z+4=0, pi2:-4x-2y+2z-1=0
O conteúdo é geometria analítica espacial, mais precisamente comparação de planos via vetores normais.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano. Para pi1,
n1 = (2,,1,,-1),
e para pi2,
n2 = (-4,,-2,,2)

Passo 3

Verificamos se n1 e n2 são colineares. Note que
-2n1 = -2,(2,,1,,-1) = (-4,,-2,,2) = n2
Como um é múltiplo escalar do outro, os planos têm normais paralelas e, portanto, são paralelos ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre paralelos distintos ou coincidentes, comparamos as constantes das equações. Se multiplicarmos a equação de pi1 por -2, obtemos
-2(2x+y-z+4)= -4x-2y+2z-8=0,
que difere de pi2 cujo termo livre é -1, não -8. Logo, não são o mesmo plano.

Resposta

Os planos pi1 e pi2 são paralelos e distintos.

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