Encontre a posição relativa entre as retas:
r1:(x, y, z)=(2,1,-3)+(t, 2 t,-t), r2:(x, y, z)=(1,-1,0)+(s,-s, 2 s)

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre duas retas em R^3. O conteúdo aqui é “posição relativa de retas no espaço”: para isso precisamos (i) extrair os vetores diretores de cada reta, (ii) verificar se são paralelas (ou coincidentes) e, se não, (iii) checar se se intersectam.

Passo 2

Extraímos as formas paramétricas:
r1(t):(x,y,z)=(2,1,-3)+t,(1,2,-1), r2(s):(x,y,z)=(1,-1,0)+s,(1,-1,2)
Dessa forma, os vetores diretores são
v1=(1,2,-1), v2=(1,-1,2)

Passo 3

Testamos paralelismo, procurando escalar k tal que
v2=k,v1
Isso daria o sistema
(1,-1,2)=(k,2k,-k)
Da primeira coordenada vem k=1, mas então a segunda exigiria 2k=-1, ou seja 2cdot1=-1, o que é impossível. Logo, v1 e v2 não são proporcionais e as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 4

Como não são paralelas, testamos interseção igualando
Da primeira equação que resolva o sistema, ou seja, as retas não se intersectam.

Passo 5

Concluímos que as retas não são paralelas nem se intersectam. No espaço isso significa que elas são reversas (ou “skew”).

Resposta

As retas são reversas (não paralelas e sem interseção).

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