Encontre a posição relativa entre as retas:
r1:(x, y, z)=(0,1,1)+(2 t,-t, 3 t), r2:(x, y, z)=(1,1,2)+(s, 2 s,-s)

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre as retas
r1: (x,y,z) = (0,1,1) + t,(2,-1,3), r2: (x,y,z) = (1,1,2) + s,(1,2,-1)
O conteúdo é geometria analítica em R^3: vamos extrair vetores de direção, testar paralelismo e, se não paralelas, verificar interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores de direção
v1 = (2,-1,3) e v2 = (1,2,-1).
Para serem paralelas, deve existir k tal que v1=k,v2, ou seja
21 = -12 = 3-1
Como tfrac21=2, tfrac-12=-tfrac12 e tfrac3-1=-3 são diferentes, as retas não são paralelas.

Passo 3

Para ver se se intersectam, igualamos as coordenadas:
(0,1,1) + t,(2,-1,3) ;=;(1,1,2) + s,(1,2,-1)
Isto gera o sistema
2t = 1 + s, 1 - t = 1 + 2s, 1 + 3t = 2 - s

Passo 4

Da segunda equação vem 1 - t = 1 + 2s, logo
-t - 2s = 0 ;implies; t = -2s
Substituindo em 2t = 1 + s
2(-2s) = 1 + s ;implies; -4s - s = 1 ;implies; s = -tfrac15, t = -2l(-tfrac15r)=tfrac25
Ao colocar em 1 + 3t = 2 - s confirma-se 1+3cdottfrac25=2-(-tfrac15).

Passo 5

Substituindo t=tfrac25 em r1 obtemos o ponto de interseção:
(x,y,z) =l(2cdottfrac25,,1-tfrac25,,1+3cdottfrac25r) =l(tfrac45,,tfrac35,,tfrac115r)
Logo as retas se cruzam (são concorrentes).

Resposta

As retas não são paralelas e se intersectam em
l(tfrac45,,tfrac35,,tfrac115r),
ou seja, são concorrentes.

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