Sejam P=(2,-1,0) e r:(x, y, z)=(3+ 4 t,-1+t, 2-2 t ):
(a) Verifique se P in r
(b) Obtenha a equação geral do plano determinado por r e P

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P=(2,-1,0) e a reta
r:;(x,y,z)=(3+4t,,-1+t,,2-2t)
Pede (a) verificar se Pin r e (b) obter a equação geral do plano determinado por r e P. Para isso vamos usar representação paramétrica da reta, teste de pertencimento e, para o plano, obter um vetor normal via produto vetorial.

Passo 2

Para checar Pin r, igualamos coordenadas de P àquelas de r:
3+4t=2implies t=-tfrac14
Com t=-tfrac14 temos
y=-1+t=-1-tfrac14=-tfrac54neq -1,
logo não há valor de t que reconcilie todas as três coordenadas. Portanto
Pnotin r

Passo 3

Escolhemos um ponto qualquer da reta, por exemplo Q=r(0)=(3,-1,2), e o vetor diretor de r:
vec v=(4,1,-2)
Como o plano contém P e toda a reta, ele engloba também o vetor
PQ=P-Q=(2-3,,-1+1,,0-2)=(-1,0,-2)

Passo 4

O vetor normal vec n do plano é perpendicular aos vetores vec v e PQ, então
vec n=vec vtimesPQ = i & j & k 4 & 1 & -2 -1 & 0 & -2 =(-2,,10,,1)

Passo 5

A equação do plano com normal vec n=(a,b,c)=(-2,10,1) passando por P=(2,-1,0) é
a(x-2)+b(y+1)+c(z-0)=0
Substituindo:
-2(x-2)+10(y+1)+1,(z-0)=0 implies -2x+4+10y+10+z=0
implies -2x+10y+z+14=0
Multiplicando por -1 para ficar na forma habitual:
2x-10y-z-14=0

Resposta

(a) Pnotin r.
(b) A equação geral do plano é
2x-10y-z-14=0

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