Utilizando o processo de diagonalização de formas quadráticas, determine o tipo de seção cônica representada pelas equações dadas:
78 x^2-raiz34 x y+58 y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a seção cônica dada por
78x^2-raiz34xy+58y^2=1
usando diagonalização de formas quadráticas. O conteúdo aqui é classificação de cônicas pelo sinal dos autovalores da matriz associada à forma quadrática.

Passo 2

Para montar a matriz simétrica da forma quadrática, lembramos que o coeficiente de xy fica dividido por 2 nos elementos a12 e a21. Assim, definimos
A= tfrac78 & -tfracraiz38 -tfracraiz38 & tfrac58

Passo 3

Vamos calcular o traço e o determinante de A, pois eles aparecem na fórmula dos autovalores:
tr(A)=tfrac78+tfrac58=tfrac32,
det(A)=tfrac78cdottfrac58-l(-tfracraiz38r)^2=tfrac3564-tfrac364=tfrac12

Passo 4

Os autovalores lambda1 e lambda2 vêm de
lambda1,2=tr(A)pmraiztr(A)^2-4det(A)2 =tfrac32pmtfrac122,
portanto
lambda1=1, lambda2=tfrac12

Passo 5

Como ambos os autovalores são positivos, a forma quadrática é definida positiva. Isso indica que a seção cônica é uma elipse.

Resposta

Elipse.

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