Encontre, se possível, condições sobre os números a, b para que as matrizes abaixo sejam diagonalizáveis:
rrr4 & 6 & -2 -1 & -1 & 1 0 & 0 & a

Passo 1

O enunciado pede para achar condições sobre o parâmetro a (não há b na matriz fornecida) para que A seja diagonalizável; o tema é diagonalização de matrizes e vamos precisar dos conceitos de autovalores, multiplicidade algébrica e geométrica.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores estão na diagonal principal. Logo,
$$
lambda_1 = 4,
lambda_2 = -1,
lambda_3 = a.
$$
Se lambda1 = 4, lambda2 = -1, lambda3 = a e aneq4, os três autovalores são distintos. Teorema: matriz com três autovalores distintos é sempre diagonalizável; portanto, nesse caso aneq-1 é diagonalizável.

Passo 3

Agora, se a=4, o autovalor lambda=4 tem multiplicidade algébrica 2. Vamos ver sua multiplicidade geométrica resolvendo
(A-4I)x=0
Escrevendo A-4I=0&6&-2-1&-5&10&0&4-4, a última equação impõe 0=0 (nenhuma restrição a x3), e as duas primeiras reduzem o espaço próprio a dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), A não é diagonalizável para a=4.

Passo 4

Analogamente, se a=-1, o autovalor lambda=-1 aparece duas vezes na diagonal e ao resolver
(A+I)x=0
vemos que o espaço próprio também fica de dimensão 1 em vez de 2. Logo, A não é diagonalizável para a=-1.

Resposta

A é diagonalizável se, e somente se, aneq4 e aneq-1.

Exercícios relacionados