Encontre, se possível, condições sobre os números a, b para que as matrizes abaixo sejam diagonalizáveis:
rrr1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 2 & -1 & a

Passo 1

Vamos resolver a diagonalização da matriz A em função de a. O conteúdo aqui é Autovalores e Autovetores: precisamos calcular o polinômio característico, achar os autovalores e comparar as multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Escrevendo A - lambda I e calculando o determinante, usamos expansão pela terceira coluna (já que nela há zeros):
det(A - lambda I)=(a-lambda)det1-lambda & 22 & 1-lambda

Passo 3

O menor determinante é
det1-lambda & 22 & 1-lambda=(1-lambda)^2-4=(lambda-1)^2-4=(lambda-3)(lambda+1)

Passo 4

Logo o polinômio característico é
$$
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(\lambda-3)(\lambda+1).$$

Passo 5

Os autovalores são lambda1=a, lambda2=3 e lambda3=-1. Se a for diferente de 3 e de -1, temos três valores distintos, garantindo diagonalização.

Passo 6

Se a=3 ou a=-1, um autovalor fica com multiplicidade algébrica 2. Nesses casos, ao resolver (A-lambda I)x=0 para lambda=3 ou -1, obtemos apenas 1 parâmetro livre (espaço próprio de dimensão 1), ou seja, multiplicidade geométrica 1 menor que a algébrica 2. Assim não é diagonalizável nesses casos.

Resposta

A é diagonalizável se, e somente se, aneq3 e aneq-1.

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