Encontre, se possível, condições sobre os números para que as matrizes abaixo sejam diagonalizáveis:
Passo 1
Vamos resolver a diagonalização da matriz A em função de a. O conteúdo aqui é Autovalores e Autovetores: precisamos calcular o polinômio característico, achar os autovalores e comparar as multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Escrevendo A - lambda I e calculando o determinante, usamos expansão pela terceira coluna (já que nela há zeros):
Os autovalores são lambda1=a, lambda2=3 e lambda3=-1. Se a for diferente de 3 e de -1, temos três valores distintos, garantindo diagonalização.
Passo 6
Se a=3 ou a=-1, um autovalor fica com multiplicidade algébrica 2. Nesses casos, ao resolver (A-lambda I)x=0 para lambda=3 ou -1, obtemos apenas 1 parâmetro livre (espaço próprio de dimensão 1), ou seja, multiplicidade geométrica 1 menor que a algébrica 2. Assim não é diagonalizável nesses casos.
Resposta
A é diagonalizável se, e somente se, aneq3 e aneq-1.