Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo: uma função f tal que \int_{0}^{1} f>0 mas f(x)<0 para todo x \in[0,0.9]; Passo 1O enunciado pede que a gente construa uma função f em [0,1] tal que \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx>0 f(x)<0 para todo x\in[0,0.9]. A ideia é compensar a área negativa em [0,0.9] com uma área suficientemente positiva em (0.9,1]. Passo 2Vamos definir f\) como **peça-por-peça constante**: \[f(x)= \begin{cases} -A, &0\le x\le 0.9,\\\ B, &0.9<x\le1, \end{cases} com A>0\] e \(B>0. Então \int_{0}^{1}f(x)\,dx =\int_{0}^{0.9}(-A)\,dx+\int_{0.9}^{1}B\,dx =-A\cdot0.9+B\cdot0.1. Para que essa integral seja positiva, basta ter -B\cdot0.1 +A\cdot0.9<0 \quad\Longleftrightarrow\quad B>9\,A. Passo 3Escolhendo o caso mais simples, A=1\) e \(B=10\) (pois \(10>9\cdot1\)), obtemos \[f(x)= \begin{cases} -1, &0\le x\le 0.9,\\\\ 10, &0.9<x\le1. \end{cases} Verificações: Em [0,0.9]\], \(f(x)=-1<0. \int_{0}^{1}f(x)\,dx =-1\cdot0.9+10\cdot0.1 =-0.9+1 =0.1>0. RespostaUm exemplo é f(x)= \begin{cases} -1, &0\le x\le 0.9,\\\\ 10, &0.9<x\le1, \end{cases} pois satisfaz \int_{0}^{1}f(x)\,dx=0.1>0 e f(x)<0 em [0,0.9]. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSendo f(x)=\left(x^{2}-x+3\right) \cos (x) Calcule f^{\prime}(\pi). Dada a funçāo g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x-1} & , \text { se } x \neq 1 \\\ L & , \text { se } x=1\end{array}\right. : Determine o valor de L para que a função g seja contínua em \mathbb{R}. Exercício 7 Use um argumento geométrico para calcular \int_{0}^{6} \sqrt{36-x^{2}} d x. Exercícios sobre Teoremas da média e fundamental Exercício 7 Use um argumento geométrico para calcular \int_{0}^{6} \sqrt{36-x^{2}} d x. Exercícios sobre Teoremas da média e fundamental