Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
uma função f tal que \int_{0}^{1} f>0 mas f(x)<0 para todo x \in[0,0.9];

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa uma função f em [0,1] tal que
  1. \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx>0
  2. f(x)<0 para todo x\in[0,0.9].
    A ideia é compensar a área negativa em [0,0.9] com uma área suficientemente positiva em (0.9,1].

Passo 2

Vamos definir f\) como **peça-por-peça constante**: \[f(x)= \begin{cases} -A, &0\le x\le 0.9,\\\ B, &0.9<x\le1, \end{cases}
com A>0\] e \(B>0. Então
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\int_{0}^{0.9}(-A)\,dx+\int_{0.9}^{1}B\,dx =-A\cdot0.9+B\cdot0.1.
Para que essa integral seja positiva, basta ter
-B\cdot0.1 +A\cdot0.9<0 \quad\Longleftrightarrow\quad B>9\,A.

Passo 3

Escolhendo o caso mais simples, A=1\) e \(B=10\) (pois \(10>9\cdot1\)), obtemos \[f(x)= \begin{cases} -1, &0\le x\le 0.9,\\\\ 10, &0.9<x\le1. \end{cases}
Verificações:
  1. Em [0,0.9]\], \(f(x)=-1<0.
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =-1\cdot0.9+10\cdot0.1 =-0.9+1 =0.1>0.

Resposta

Um exemplo é
f(x)= \begin{cases} -1, &0\le x\le 0.9,\\\\ 10, &0.9<x\le1, \end{cases}
pois satisfaz \int_{0}^{1}f(x)\,dx=0.1>0 e f(x)<0 em [0,0.9].

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