Exercício 7 Use um argumento geométrico para calcular \int_{0}^{6} \sqrt{36-x^{2}} d x.
Exercícios sobre Teoremas da média e fundamental

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{6} \sqrt{36 - x^{2}}\;dx
usando um argumento geométrico. O conteúdo aqui é interpretação de integrais definidas como área sob a curva, e vamos precisar da área de um círculo de raio 6.

Passo 2

Repare que a função
y = \sqrt{36 - x^{2}}
é a semiceircunferência superior do círculo x^{2} + y^{2} = 36. No intervalo 0 \le x \le 6, isso descreve exatamente o quarto de círculo situado no primeiro quadrante.

Passo 3

Como a área de um círculo de raio r é \pi r^{2}, para r=6 temos área total 36\pi. A região sob a curva de x=0 a x=6 corresponde a um quarto desse círculo, logo sua área é
\frac{36\pi}{4} = 9\pi.

Resposta

\displaystyle 9\pi

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