Encontre, se possível, lambda in R de modo que d(P, r)=3, onde:
r: lambda x=y e P=(2, raiz3).

Passo 1

O enunciado pede encontrar o valor real de lambda tal que a distância do ponto P=(2,raiz3) à reta rcolon lambda x = y seja 3. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano.

Passo 2

Colocamos a equação da reta na forma padrão Ax+By+C=0. A reta lambda x = y é equivalente a
lambda x - y = 0,
ou seja, A=lambda, B=-1 e C=0.

Passo 3

A fórmula da distância de P=(x0,y0) à reta Ax+By+C=0 é
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
Substituindo x0=2, y0=raiz3, A=lambda, B=-1 e C=0, obtemos
d = l|lambdacdot2 - raiz3r|raizlambda^2 + 1
Queremos d=3, logo
l|2lambda - raiz3r|raizlambda^2 + 1 = 3

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos
(2lambda - raiz3)^2 = 9(lambda^2 + 1) Longrightarrow 4lambda^2 -4raiz3,lambda +3 = 9lambda^2 +9 Longrightarrow 5lambda^2 + 4raiz3,lambda +6 = 0
O discriminante desta equação é
De<a = (4raiz3)^2 - 4cdot5cdot6 = 48 - 120 = -72 < 0,
ou seja, não há raízes reais.

Resposta

Não existe lambdainR tal que d(P,r)=3.

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