Sabendo que o círculo C está centrado no ponto (1,3) e que o ponto P=(-1,1) in C, encontre a equação da reta r tangente a C que passa por P. Encontre também a reta tangente a C que é paralela a r.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o círculo C de centro O=(1,3) e o ponto P=(-1,1) pertence a C. Precisamos achar a reta r tangente a C em P e depois a outra reta tangente a C que seja paralela a r. O conteúdo envolvido é geometria analítica de círculos e retas tangentes.

Passo 2

Para achar a reta tangente em P, lembramos que o raio OP é perpendicular à reta tangente. O vetor OP tem componentes
OP = P - O = (-1-1,;1-3) = (-2,-2),
logo a inclinação do raio é
mOP = -2-2 = 1
Como a reta tangente é perpendicular ao raio, sua inclinação é o negativo do inverso de mOP:
mr = -1mOP = -1

Passo 3

A reta r passa por P(-1,1) e tem inclinação mr = -1. Pela forma ponto-inclinação,
y - 1 = -1,(x + 1),
que, ao simplificar, dá
y = -x

Passo 4

Agora buscamos a reta paralela a r (mesma inclinação -1) e tangente a C. Escrevemos sua equação geral como
y = -x + b

Passo 5

Para que essa reta seja tangente, a distância do centro O=(1,3) até ela deve ser igual ao raio R. Como
R = OP = raiz(-2)^2 + (-2)^2 = 2raiz2,
usamos a fórmula da distância de (x0,y0) à reta Ax+By+C=0. Reescrevendo y = -x + b em x + y - b = 0, temos
l|1 + 3 - br|raiz1^2 + 1^2 = 2raiz2 Longrightarrow |4 - b|raiz2 = 2raiz2 Longrightarrow |4 - b| = 4 Longrightarrow b = 0 ou b = 8
O caso b=0 retorna a reta r já obtida; o outro dá a reta paralela tangente.

Resposta

A reta tangente que passa por P é
y = -x
A reta paralela a ela e tangente a C é
y = -x + 8

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