Sabendo que o círculo está centrado no ponto (1,3) e que o ponto , encontre a equação da reta tangente a que passa por . Encontre também a reta tangente a que é paralela a .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o círculo de centro e o ponto pertence a . Precisamos achar a reta tangente a em e depois a outra reta tangente a que seja paralela a . O conteúdo envolvido é geometria analítica de círculos e retas tangentes.
Passo 2
Para achar a reta tangente em , lembramos que o raio é perpendicular à reta tangente. O vetor tem componentes
OP = P - O = (-1-1,;1-3) = (-2,-2),
logo a inclinação do raio é
mOP = -2-2 = 1
Como a reta tangente é perpendicular ao raio, sua inclinação é o negativo do inverso de mOP:
mr = -1mOP = -1
Passo 3
A reta r passa por P(-1,1) e tem inclinação mr = -1. Pela forma ponto-inclinação,
y - 1 = -1,(x + 1),
que, ao simplificar, dá
y = -x
Passo 4
Agora buscamos a reta paralela a r (mesma inclinação -1) e tangente a C. Escrevemos sua equação geral como
y = -x + b
Passo 5
Para que essa reta seja tangente, a distância do centro O=(1,3) até ela deve ser igual ao raio R. Como
R = OP = raiz(-2)^2 + (-2)^2 = 2raiz2,
usamos a fórmula da distância de (x0,y0) à reta Ax+By+C=0. Reescrevendo y = -x + b em x + y - b = 0, temos
l|1 + 3 - br|raiz1^2 + 1^2 = 2raiz2 Longrightarrow |4 - b|raiz2 = 2raiz2 Longrightarrow |4 - b| = 4 Longrightarrow b = 0 ou b = 8
O caso b=0 retorna a reta r já obtida; o outro dá a reta paralela tangente.