Considere o sistema não-linear
l y=2 x+1 (x-2)^2+(y-1)^2=r
onde r in R. Faça uma análise do número de soluções do sistema em função do parâmetro r.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
y = 2x + 1, (x-2)^2 + (y-1)^2 = r,
que descreve a interseção de uma reta e de um círculo de centro (2,1) e raio raizr. Para resolver, vamos substituir a reta na equação do círculo, obter uma equação quadrática em x e analisar o discriminante em função de r.

Passo 2

Substituindo y = 2x + 1 em (x-2)^2+(y-1)^2=r, temos
(x-2)^2 + l((2x+1)-1r)^2 = r

Passo 3

Desenvolvendo os quadrados:
(x-2)^2 + (2x)^2 = x^2 - 4x + 4 + 4x^2 = 5x^2 - 4x + 4
Logo a equação fica
5x^2 - 4x + 4 = r Long<=ftrightarrow 5x^2 - 4x + (4 - r) = 0

Passo 4

O número de soluções reais para x depende do discriminante
De<a = (-4)^2 - 4cdot5cdot(4 - r) = 16 - 20(4 - r) = 20r - 64
  • Se De<a > 0, existem duas raízes reais distintas (duas interseções).
  • Se De<a = 0, há uma raiz dupla (reta tangente ao círculo).
  • Se De<a < 0, não há raízes reais (nenhuma interseção).

Passo 5

Resolvendo De<a >r<=ss 0:
20r - 64 >r<=ss 0 Long<=ftrightarrow r >r<=ss 6420 = 165

Resposta

Para o número de soluções do sistema em função de r:
0, & r < tfrac165, 1, & r = tfrac165, 2, & r > tfrac165

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