Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(a) Mostre que
está contida no cone
.
(b) Faça um esboço da curva
para
e
.
(a) Mostre que
(b) Faça um esboço da curva
Passo 1
O enunciado dá a curva
parametrizada por
onde
,
,
são constantes fixadas. As perguntas são:
(a) Mostrar que está contida no cone dado por
.
(b) Fazer um esboço (descrever graficamente) da curva para
e
.
(a) Mostrar que
(b) Fazer um esboço (descrever graficamente) da curva
Passo 2
Vamos começar calculando
. Substituindo as componentes da parametrização, obtemos
Agora fatoramos
porque aparece em ambos os termos:
Aqui usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Assim
Passo 3
Calculemos
a partir de
:
Passo 4
Agora formamos os dois lados da equação do cone. O lado esquerdo é
O lado direito é
Como os dois lados coincidem para todo
, concluímos que cada ponto da parametrização satisfaz
Isto mostra que a curva
está contida no cone pedido.
Passo 5
Interpretando geometricamente (explicação didática): em coordenadas cilíndricas, defina
e
. Da parametrização temos
Dividindo as duas igualdades obtemos uma relação linear entre
e
:
Uma relação do tipo
descreve exatamente um cone ilimitado com vértice na origem; por isso o resultado do Passo 4 se encaixa com essa interpretação.
Passo 6
Agora resolvemos o item (b) com
e
. Substituindo:
Então
e
. Como
temos
, ou seja a curva está no napê superior do cone
e, como
para todo
, fica no napê com
.
Passo 7
Comportamento para variar
(como esboçar):
- Domínio natural:
. - Projeção no plano
: em coordenadas polares a projeção satisfaz
pois
. Isso é uma espiral logarítmica (forma
com
).
- À medida que
, temos , logo e : a curva aproxima-se do vértice (origem) descrevendo voltas cada vez mais apertadas. - À medida que
, temos , logo e : a curva vai para fora e para cima ao longo do cone. - Orientação: como
, quando aumenta a curva gira no sentido anti-horário vista de cima (sentido usual positivo de ), e simultaneamente desce em direção ao vértice porque diminui.
Passo 8
Pontos de amostra para ajudar no esboço (aproximações decimais; use vírgula como separador decimal):
- Para
: , . - Para
: , , . Então - Para
: , , . Então - Para
: , , . Então
Esses pontos mostram a espiral indo de fora (para
negativo grande) e enrolando-se para o vértice conforme
cresce.
Passo 9
Como desenhar na prática (passo a passo para o esboço):
- Desenhe o cone
(apenas o napê superior, já que ). - Faça a projeção no plano
: desenhe uma espiral logarítmica dada por (começando larga para negativo e apertando para positivo). - Eleve cada ponto da espiral até a altura
(ou seja, coloque a espiral sobre a superfície do cone). - Indique a orientação por setas no sentido anti-horário quando seguir o aumento de
, e marque alguns pontos amostra como os calculados acima.
Resposta
(a) A curva satisfaz
, logo
está contida no cone pedido.
(b) Para a curva é uma espiral logarítmica sobre o napê superior do cone
com parametrização
. Ela gira anti-horário e aproxima-se do vértice quando
e vai para fora/para cima quando
.
(b) Para