Considere a curva C parametrizada por x=a e^{\omega t} \cos t, y=a e^{\omega t} \sin t, z=b e^{\omega t}, em que a, b, \omega são constantes fixadas.
(a) Mostre que C está contida no cone a^{2} z^{2}=b^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).
(b) Faça um esboço da curva C para a=b=4 e \omega=-1.

Passo 1

O enunciado dá a curva C parametrizada por
x = a e^{\omega t}\cos t,\qquad y = a e^{\omega t}\sin t,\qquad z = b e^{\omega t},
onde a, b, \omega são constantes fixadas. As perguntas são:
(a) Mostrar que C está contida no cone dado por a^{2} z^{2} = b^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
(b) Fazer um esboço (descrever graficamente) da curva C para a=b=4 e \omega=-1.

Passo 2

Vamos começar calculando x^{2}+y^{2}. Substituindo as componentes da parametrização, obtemos
x^{2}+y^{2} = \bigl(a e^{\omega t}\cos t\bigr)^{2} + \bigl(a e^{\omega t}\sin t\bigr)^{2}.
Agora fatoramos a^{2} e^{2\omega t} porque aparece em ambos os termos:
x^{2}+y^{2} = a^{2} e^{2\omega t}\bigl(\cos^{2}t + \sin^{2}t\bigr).
Aqui usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Assim
x^{2}+y^{2} = a^{2} e^{2\omega t}.

Passo 3

Calculemos z^{2} a partir de z=b e^{\omega t}:
z^{2} = \bigl(b e^{\omega t}\bigr)^{2} = b^{2} e^{2\omega t}.

Passo 4

Agora formamos os dois lados da equação do cone. O lado esquerdo é
a^{2} z^{2} = a^{2}\bigl(b^{2} e^{2\omega t}\bigr) = a^{2}b^{2} e^{2\omega t}.
O lado direito é
b^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = b^{2}\bigl(a^{2} e^{2\omega t}\bigr) = a^{2}b^{2} e^{2\omega t}.
Como os dois lados coincidem para todo t, concluímos que cada ponto da parametrização satisfaz
a^{2} z^{2} = b^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Isto mostra que a curva C está contida no cone pedido.

Passo 5

Interpretando geometricamente (explicação didática): em coordenadas cilíndricas, defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \theta = t. Da parametrização temos
r = a e^{\omega t},\qquad z = b e^{\omega t}.
Dividindo as duas igualdades obtemos uma relação linear entre z e r:
\frac{z}{r} = \frac{b}{a}\quad\Rightarrow\quad z = \frac{b}{a}\,r.
Uma relação do tipo z = (\text{const})\cdot r descreve exatamente um cone ilimitado com vértice na origem; por isso o resultado do Passo 4 se encaixa com essa interpretação.

Passo 6

Agora resolvemos o item (b) com a=b=4 e \omega=-1. Substituindo:
x = 4 e^{-t}\cos t,\qquad y = 4 e^{-t}\sin t,\qquad z = 4 e^{-t}.
Então r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 4 e^{-t} e \theta = t. Como a=b temos z=r, ou seja a curva está no napê superior do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} e, como z=4 e^{-t}>0 para todo t, fica no napê com z>0.

Passo 7

Comportamento para variar t (como esboçar):
  • Domínio natural: t\in\mathbb{R}.
  • Projeção no plano xy: em coordenadas polares a projeção satisfaz
r = 4 e^{-\,\theta},
pois \theta=t. Isso é uma espiral logarítmica (forma r=c e^{k\theta} com k=-1).
  • À medida que t\to +\infty, temos e^{-t}\to 0, logo r\to 0 e z\to 0: a curva aproxima-se do vértice (origem) descrevendo voltas cada vez mais apertadas.
  • À medida que t\to -\infty, temos e^{-t}\to +\infty, logo r\to +\infty e z\to +\infty: a curva vai para fora e para cima ao longo do cone.
  • Orientação: como \theta=t, quando t aumenta a curva gira no sentido anti-horário vista de cima (sentido usual positivo de \theta), e simultaneamente desce em direção ao vértice porque e^{-t} diminui.

Passo 8

Pontos de amostra para ajudar no esboço (aproximações decimais; use vírgula como separador decimal):
  • Para t=0: r=4, (x,y,z)=(4,0,4).
  • Para t=1: r=4e^{-1}\approx 1,4715, \cos 1\approx 0,5403, \sin 1\approx 0,8415. Então (x,y,z)\approx(0,795,\,1,238,\,1,4715).
  • Para t=2: r=4e^{-2}\approx 0,5413, \cos 2\approx -0,4161, \sin 2\approx 0,9093. Então (x,y,z)\approx(-0,225,\,0,493,\,0,5413).
  • Para t=-1: r=4e^{1}\approx 10,8731, \cos(-1)\approx 0,5403, \sin(-1)\approx -0,8415. Então (x,y,z)\approx(5,876,\,-9,149,\,10,8731).
Esses pontos mostram a espiral indo de fora (para t negativo grande) e enrolando-se para o vértice conforme t cresce.

Passo 9

Como desenhar na prática (passo a passo para o esboço):
  1. Desenhe o cone z=r (apenas o napê superior, já que z>0).
  2. Faça a projeção no plano xy: desenhe uma espiral logarítmica dada por r=4 e^{-\,\theta} (começando larga para \theta negativo e apertando para \theta positivo).
  3. Eleve cada ponto da espiral até a altura z=r (ou seja, coloque a espiral sobre a superfície do cone).
  4. Indique a orientação por setas no sentido anti-horário quando seguir o aumento de t, e marque alguns pontos amostra como os calculados acima.

Resposta

(a) A curva satisfaz \;a^{2}z^{2}=b^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\;, logo C está contida no cone pedido.
(b) Para a=b=4,\\ \omega=-1 a curva é uma espiral logarítmica sobre o napê superior do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} com parametrização \;x=4e^{-t}\cos t,\\ y=4e^{-t}\sin t,\\ z=4e^{-t}. Ela gira anti-horário e aproxima-se do vértice quando t\to+\infty e vai para fora/para cima quando t\to-\infty.

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