Encontre, se possível, as soluções dos sistemas de equações lineares abaixo usando o método da eliminação de Gauss. Determine se cada sistema é impossível (SI), possível e determinado (SPD) ou possível e indeterminado (SPI).
w+2 x-y & =4 x-y & =3 w+3 x-2 y & =6 2 u+4 v+w+7 x & =7

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. Temos um sistema de equações lineares com cinco variáveis: u , v , w , x e y . O objetivo é encontrar se existe alguma solução para esse sistema usando o método da eliminação de Gauss e determinar se o sistema é impossível (SI), possível e determinado (SPD) ou possível e indeterminado (SPI).
As equações são:
w + 2x - y = 4 (Equação 1) x - y = 3 (Equação 2) w + 3x - 2y = 6 (Equação 3) 2u + 4v + w + 7x = 7 (Equação 4) çãçãçãçã
Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para simplificar e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
0 & 0 & 1 & 2 & -1 & | & 4 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & | & 6 2 & 4 & 1 & 7 & 0 & | & 7
Aqui, as colunas representam u , v , w , x , y e o lado direito das equações.

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para triangularizar a matriz. O objetivo é ter zeros abaixo dos elementos principais (diagonal principal).
Primeiro, vamos identificar o pivô na primeira coluna que não seja zero. Na nossa matriz, o primeiro elemento não nulo está na quarta linha, primeira coluna (valor 2). Vamos trocar a primeira linha com a quarta linha para facilitar:
2 & 4 & 1 & 7 & 0 & | & 7 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & | & 6 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & | & 4

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos tornar os elementos abaixo desse 2 em zero.
Como as demais linhas já têm zero na primeira coluna, não precisamos fazer nenhuma operação aqui.
A matriz permanece:
2 & 4 & 1 & 7 & 0 & | & 7 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & | & 6 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & | & 4

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Observamos que todas as linhas abaixo da primeira têm zero nos dois primeiros coeficientes, então vamos para a terceira coluna.
O próximo pivô está na terceira coluna, terceira linha (valor 1). Vamos usar esse pivô para eliminar o elemento abaixo dele.
Subtraímos a terceira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - Linha3
2 & 4 & 1 & 7 & 0 & | & 7 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & | & 6 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & | & -2

Passo 6

Agora, vamos olhar para a quarta linha. Podemos simplificar multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Linha4 = -1 * Linha4
2 & 4 & 1 & 7 & 0 & | & 7 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & | & 6 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & | & 2

Passo 7

Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais após as operações:
0u + 0v + 0w + 1x - 1y = 3 0u + 0v + 0w + 1x - 1y = 2
Isso significa que temos uma contradição: x - y = 3 e x - y = 2 ao mesmo tempo, o que não é possível.

Resposta

O sistema é impossível (SI), não possuindo solução.

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