Encontre, se possível, as soluções dos sistemas de equações lineares abaixo usando o método da eliminação de Gauss. Determine se cada sistema é impossível (SI), possível e determinado (SPD) ou possível e indeterminado (SPI).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. Temos um sistema de equações lineares com cinco variáveis: u , v , w , x e y . O objetivo é encontrar se existe alguma solução para esse sistema usando o método da eliminação de Gauss e determinar se o sistema é impossível (SI), possível e determinado (SPD) ou possível e indeterminado (SPI).
As equações são:
w + 2x - y = 4 (Equação 1) x - y = 3 (Equação 2) w + 3x - 2y = 6 (Equação 3) 2u + 4v + w + 7x = 7 (Equação 4) çãçãçãçã
Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para simplificar e encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Aqui, as colunas representam u , v , w , x , y e o lado direito das equações.
Passo 3
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para triangularizar a matriz. O objetivo é ter zeros abaixo dos elementos principais (diagonal principal).
Primeiro, vamos identificar o pivô na primeira coluna que não seja zero. Na nossa matriz, o primeiro elemento não nulo está na quarta linha, primeira coluna (valor 2). Vamos trocar a primeira linha com a quarta linha para facilitar:
Agora, vamos para a segunda coluna. Observamos que todas as linhas abaixo da primeira têm zero nos dois primeiros coeficientes, então vamos para a terceira coluna.
O próximo pivô está na terceira coluna, terceira linha (valor 1). Vamos usar esse pivô para eliminar o elemento abaixo dele.