Em cada item, estabeleça condições que devem ser satisfeitas por a, b e c para que o sistemas linear seja: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
lx+y+z=a x-y+z=b x+y-z=c

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique o sistema
x + y + z = a, x - y + z = b, x + y - z = c
como possível determinado (SPD), possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI), em função dos parâmetros a,b,c. O conteúdo que vamos usar é o critério de Cramer e o Teorema de Rouché–Frobenius, que envolvem o determinante da matriz dos coeficientes e os postos da matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada:
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 , [Amid d] = 1 & 1 & 1 & a 1 & -1 & 1 & b 1 & 1 & -1 & c
Vamos primeiro calcular det(A).

Passo 3

Usando expansão por primeira linha,
det(A) =1cdotdet-1&11&-1 -1cdotdet1&11&-1 +1cdotdet1&-11&1
Cada menor dá
det-1&11&-1=(-1)(-1)-1cdot1=0,
det1&11&-1=1cdot(-1)-1cdot1=-2,
det1&-11&1=1cdot1-(-1)cdot1=2
Logo
det(A)=1cdot0 -1cdot(-2)+1cdot2 = 0+2+2 = 4neq0

Passo 4

Pelo critério de Cramer e Rouché–Frobenius temos:
  • Se det(A)neq0, o sistema é sempre possível determinado.
  • Se det(A)=0 e rank(A)=rank([Amid d])<3, seria possível indeterminado.
  • Se det(A)=0 e rank(A)<rank([Amid d]), seria impossível.

Passo 5

Como aqui det(A)=4neq0 para todos os valores de a,b,c, o sistema sempre tem solução única. Não há casos em que ele fique indeterminado ou impossível.

Resposta

(a) Possível determinado: para quaisquer (a,b,c)inR^3.
(b) Possível indeterminado: não ocorre para nenhum valor de a,b,c.
(c) Impossível: não ocorre para nenhum valor de a,b,c.

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