Encontre o posto das matrizes a seguir:
A=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\\\ -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\\\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o posto (rank) da matriz A. A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\\\ -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\\\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{array}\right].

Passo 2

O que eu vou fazer (apenas conceitualmente, sem calcular ainda): o posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Uma maneira prática de encontrar o posto é aplicar operações elementares por linhas (soma de linha com múltiplo de outra, troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) para levar a matriz à forma escalonada por linhas; o número de linhas não nulas na forma escalonada é o posto. Essas operações preservam dependências lineares, então não mudam o posto.

Passo 3

Vamos aplicar operações elementares para zerar entradas abaixo da primeira coluna (usar r_1 como pivô). Faço
r_2 \leftarrow r_2 + 3r_1,\qquad r_3 \leftarrow r_3 - 2r_1.
Calculo componente a componente:
Para r_2+3r_1:
-3+3\cdot1=0,\quad 6+3\cdot(-2)=0,\quad -1+3\cdot2=5,\quad 1+3\cdot3=10,\quad -7+3\cdot(-1)=-10.
Logo r_2 vira [0\\\ 0\\\ 5\\\ 10\\\ -10].
Para r_3-2r_1:
2-2\cdot1=0,\quad -4-2\cdot(-2)=0,\quad 5-2\cdot2=1,\quad 8-2\cdot3=2,\quad -4-2\cdot(-1)=-2.
Logo r_3 vira [0\\\ 0\\\ 1\\\ 2\\\ -2].
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 5 & 10 & -10 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right].

Passo 4

Agora observe que a segunda linha é múltiplo da terceira: [0\\\ 0\\\ 5\\\ 10\\\ -10] = 5\cdot[0\\\ 0\\\ 1\\\ 2\\\ -2]. Isso indica dependência entre essas duas linhas. Para evidenciar a forma escalonada limpa, faço
r_2 \leftarrow r_2 - 5r_3,
que elimina a segunda linha deixando-a nula:
r_2 = [0\\\ 0\\\ 5\\\ 10\\\ -10] - 5\cdot[0\\\ 0\\\ 1\\\ 2\\\ -2] = [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0].
Assim a matriz assume a forma
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
que é uma forma escalonada (duas linhas não nulas). Contando as linhas não nulas na forma escalonada: há exatamente duas linhas não nulas. Cada linha não nula corresponde a um pivô (uma coluna com entrada principal não nula), portanto existem dois pivôs. Isso significa que o número máximo de linhas linearmente independentes é 2. Alternativamente, o número máximo de colunas linearmente independentes também é 2.

Passo 5

Resumo didático rápido (para a prova): aplicar eliminação por linhas até obter forma escalonada; o posto é o número de linhas não nulas (ou número de pivôs). Aqui, a segunda e terceira linhas originais resultaram em apenas uma direção independente, então restam duas linhas independentes no total.

Resposta

2

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