Identifique os valores de \lambda que tornam as matrizes abaixo invertíveis
A=\left[\begin{array}{ccc} \lambda & \lambda & \lambda \\\\ 1 & \lambda & \lambda \\\\ 1 & 1 & \lambda \end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0 \\\\ 1 & \lambda & 1 \\\\ 0 & 1 & \lambda \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar direitinho):
  • São dadas duas matrizes 3\times3:
A=\begin{pmatrix} \lambda & \lambda & \lambda \\\\ 1 & \lambda & \lambda \\\\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\\\ 1 & \lambda & 1 \\\\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}.
  • O que é pedido: identificar os valores de \lambda que tornam cada matriz invertível (ou seja, para quais \lambda cada matriz tem inversa).

Passo 2

Conceito chave que vou usar (explicação didática):
  • Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando o seu determinante é diferente de zero. Em símbolos:
\text{matriz invertível} \iff \det(\text{matriz}) \neq 0.í
  • Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é rápida e útil como referência:
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
  • Para 3\times3 posso usar desenvolvimento por cofatores (expansão por linha/coluna) ou aplicar operações elementares de linha que facilitem o cálculo. Importante: a operação de substituir uma linha pela soma desta com um múltiplo de outra linha (por exemplo R_1\leftarrow R_1 - R_2) não altera o determinante. Vou usar isso para simplificar A. Para B uso expansão por linha.

Passo 3

Cálculo do determinante de A (passo a passo e explicando por que):
  • Faço a operação de linha R_1\leftarrow R_1-R_2. Isso NÃO altera o determinante.
  • A matriz fica
\begin{pmatrix} \lambda-1 & 0 & 0 \\\\ 1 & \lambda & \lambda \\\\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}.
  • Agora expando o determinante pela primeira linha (fácil porque há zeros): o único termo é na posição (1,1), portanto
\det(A)=(\lambda-1)\det\begin{pmatrix}\lambda & \lambda\\[4pt] 1 & \lambda\end{pmatrix}.
  • Calculo o determinante 2\times2 pelo fórmula ad-bc:
\det\begin{pmatrix}\lambda & \lambda\\[4pt] 1 & \lambda\end{pmatrix}=\lambda\cdot\lambda-\lambda\cdot 1=\lambda^2-\lambda.
  • Assim
\det(A)=(\lambda-1)(\lambda^2-\lambda).
  • Fatorando \lambda^2-\lambda=\lambda(\lambda-1) obtemos
\det(A)=\lambda(\lambda-1)^2.]

Passo 4

Interpretação para A:
  • A matriz A é invertível quando \det(A)\neq 0.
  • Como \det(A)=\lambda(\lambda-1)^2, temos \det(A)=0 exatamente quando \lambda=0 ou \lambda=1.
  • Conclusão: A é invertível para todos os \lambda exceto \lambda=0 e \lambda=1.

Passo 5

Cálculo do determinante de B (expansão por cofatores):
  • Vou expandir pela primeira linha de
B=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\\\ 1 & \lambda & 1 \\\\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}.
  • Pela fórmula da expansão:
\det(B)=\lambda\det\begin{pmatrix}\lambda & 1\\[4pt] 1 & \lambda\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & \lambda\end{pmatrix} +0\cdot(\dots).
  • Calculo os dois determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}\lambda & 1\\[4pt] 1 & \lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & \lambda\end{pmatrix}=1\cdot\lambda-1\cdot 0=\lambda.
  • Substituindo:
\det(B)=\lambda(\lambda^2-1)-1\cdot\lambda=\lambda^3-\lambda-\lambda=\lambda^3-2\lambda.
  • Fatorando \lambda obtemos
\det(B)=\lambda(\lambda^2-2).]

Passo 6

Interpretação para B:
  • A matriz B é invertível quando \det(B)\neq 0.
  • Como \det(B)=\lambda(\lambda^2-2), temos \det(B)=0 exatamente quando \lambda=0 ou \lambda^2=2, isto é \lambda=\pm\sqrt{2}.
  • Conclusão: B é invertível para todos os \lambda exceto \lambda=0, \lambda=\sqrt{2} e \lambda=-\sqrt{2}.

Resposta

A é invertível para todos os \lambda tais que \lambda\neq 0 e \lambda\neq 1.
B é invertível para todos os \lambda tais que \lambda\neq 0 e \lambda\neq \pm\sqrt{2}.

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