Encontre o posto das matrizes a seguir:
A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 2 & 4 & -2 & 2 \\\\ 3 & 6 & -3 & 3 \\\\ 4 & 8 & -4 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 2 & 4 & -2 & 2 \\\\ 3 & 6 & -3 & 3 \\\\ 4 & 8 & -4 & 4 \end{pmatrix}
e pede que se encontre o posto dessa matriz. Ou seja, qual é a dimensão do espaço gerado por suas colunas (ou, equivalente, por suas linhas).

Passo 2

Rápido lembrete útil (teoria passo a passo, sem pressa):
  • O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes (igual ao número máximo de linhas linearmente independentes). Outra forma prática: é o número de pivôs (linhas não-nulas) na forma escalonada por linhas.
  • Operações elementares por linha não mudam o posto da matriz. Então posso aplicar eliminações de Gauss para contar pivôs.
  • Dois vetores são linearmente dependentes se um for múltiplo escalar do outro.

Passo 3

Observação direta nas linhas: cada linha é múltipla da primeira. Vou mostrar isso explicitamente:
\text{linha}_1=(1,2,-1,1),
\text{linha}_2=2\cdot\text{linha}_1=(2,4,-2,2),
\text{linha}_3=3\cdot\text{linha}_1=(3,6,-3,3),
\text{linha}_4=4\cdot\text{linha}_1=(4,8,-4,4).
Portanto todas as linhas são combinações escalares da primeira linha, o que indica fortemente dependência entre elas.

Passo 4

Agora faço a eliminação por linhas para ver a forma escalonada (mostro as operações e o resultado).
Começo com A e anulo as entradas abaixo do primeiro pivô usando
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1.
Aplicando essas operações obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Expliquei: cada subtração elimina totalmente as linhas 2, 3 e 4 porque elas eram múltiplos exatos de R_1.

Passo 5

Interpretação da forma escalonada:
  • Há exatamente uma linha não-nula (a primeira).
  • O número de pivôs (linhas não-nulas) é o posto da matriz.
  • Como só existe uma linha não-nula na forma escalonada, o espaço gerado pelas linhas tem dimensão 1. Pelo teorema que iguala posto por linhas e por colunas, o mesmo vale para o espaço gerado pelas colunas.

Passo 6

Visão alternativa (colunas) — reforço didático:
As colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 6\\\ 8\end{pmatrix}=2c_1,\quad c_3=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -3\\\ -4\end{pmatrix}=-1\cdot c_1,\quad c_4=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}=c_1.
Todas as colunas são múltiplos de c_1, então o espaço coluna é gerado apenas por c_1 e tem dimensão 1. Isso confirma o resultado obtido pela eliminação.

Passo 7

Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 2 & 4\end{pmatrix}
tem colunas (1,2)^T e 2(1,2)^T, logo posto 1. É exatamente a mesma situação em menor escala: colunas múltiplas implicam posto 1.

Resposta

\mathrm{posto}(A)=1

Exercícios relacionados