e pede que se encontre o posto dessa matriz. Ou seja, qual é a dimensão do espaço gerado por suas colunas (ou, equivalente, por suas linhas).
Passo 2
Rápido lembrete útil (teoria passo a passo, sem pressa):
O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes (igual ao número máximo de linhas linearmente independentes). Outra forma prática: é o número de pivôs (linhas não-nulas) na forma escalonada por linhas.
Operações elementares por linha não mudam o posto da matriz. Então posso aplicar eliminações de Gauss para contar pivôs.
Dois vetores são linearmente dependentes se um for múltiplo escalar do outro.
Passo 3
Observação direta nas linhas: cada linha é múltipla da primeira. Vou mostrar isso explicitamente:
\text{linha}_1=(1,2,-1,1),
\text{linha}_2=2\cdot\text{linha}_1=(2,4,-2,2),
\text{linha}_3=3\cdot\text{linha}_1=(3,6,-3,3),
\text{linha}_4=4\cdot\text{linha}_1=(4,8,-4,4).
Portanto todas as linhas são combinações escalares da primeira linha, o que indica fortemente dependência entre elas.
Passo 4
Agora faço a eliminação por linhas para ver a forma escalonada (mostro as operações e o resultado).
Começo com A e anulo as entradas abaixo do primeiro pivô usando
Expliquei: cada subtração elimina totalmente as linhas 2, 3 e 4 porque elas eram múltiplos exatos de R_1.
Passo 5
Interpretação da forma escalonada:
Há exatamente uma linha não-nula (a primeira).
O número de pivôs (linhas não-nulas) é o posto da matriz.
Como só existe uma linha não-nula na forma escalonada, o espaço gerado pelas linhas tem dimensão 1. Pelo teorema que iguala posto por linhas e por colunas, o mesmo vale para o espaço gerado pelas colunas.
Passo 6
Visão alternativa (colunas) — reforço didático:
As colunas de A são
Todas as colunas são múltiplos de c_1, então o espaço coluna é gerado apenas por c_1 e tem dimensão 1. Isso confirma o resultado obtido pela eliminação.
Passo 7
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 2 & 4\end{pmatrix}
tem colunas (1,2)^T e 2(1,2)^T, logo posto 1. É exatamente a mesma situação em menor escala: colunas múltiplas implicam posto 1.