Encontre o potencial aproximado para pontos distantes do dipolo.
Lembre-se:
Dicas:
A. Use a lei dos cossenos:
B. Estamos interessado no regime
, de forma que o
termo seja desprezível e a expansão binomial gere:
Lembre-se:
Dicas:
A. Use a lei dos cossenos:
B. Estamos interessado no regime
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o potencial elétrico para pontos que estão longe de um dipolo. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente o potencial gerado por cargas elétricas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial de uma carga pontual:
Além disso, teremos que aplicar a lei dos cossenos e usar uma aproximação para quando a distância $ r $ é muito maior que a separação $ d $ das cargas do dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo é formado por duas cargas de mesmo módulo, mas de sinais opostos, separadas por uma distância $ d $. Vamos chamar as cargas de $ +q $ e $ -q $. Queremos encontrar o potencial resultante no ponto distante $ \boldsymbol{r} $ em relação ao dipolo.
Passo 3
Para calcular o potencial total no ponto $ \boldsymbol{r} $, precisamos somar os potenciais gerados por cada carga individualmente. Usando a fórmula do potencial de uma carga pontual, temos:
Onde $ r_{+} $ e $ r_{-} $ são as distâncias do ponto $ \boldsymbol{r} $ até cada uma das cargas $ +q $ e $ -q $, respectivamente.
Passo 4
Agora, precisamos expressar $ r_{+} $ e $ r_{-} $ em termos de $ r $ e $ d $. Isso é onde entra a dica A, que usa a lei dos cossenos:
Aqui, $ \theta $ é o ângulo entre o vetor $ \boldsymbol{r} $ e o eixo do dipolo. Como estamos no regime $ r \gg d $, podemos simplificar essa expressão.
Passo 5
Vamos simplificar $ r_{ \pm} $ considerando que $ r \gg d $. A expansão binomial nos ajuda a aproximar $ \frac{1}{r_{ \pm}} $:
Negligenciamos os termos de ordem superior, já que $ \frac{d}{r} $ é muito pequeno.
Passo 6
Substituindo essa aproximação nas expressões de $ V_{+} $ e $ V_{-} $, temos:
Passo 7
Agora, somamos $ V_{+} $ e $ V_{-} $ para obter o potencial total $ V $:
Passo 8
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 9
Normalmente, definimos o momento dipolar $ \boldsymbol{p} $ como $ \boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d} $. Assim, podemos reescrever o potencial como:
Resposta
O potencial aproximado para pontos distantes do dipolo é:
onde $ p = q d $ é o momento dipolar.