Encontre o potencial aproximado para pontos distantes do dipolo.
Lembre-se: V(r)=14 pi varepsilon0 qr
Dicas:
A. Use a lei dos cossenos: r pm^2=r^2+(d2)^2 mp r d cos theta=r^2(1 mp dr cos theta+d^24 r)
B. Estamos interessado no regime r gg d, de forma que o 3^circ termo seja desprezível e a expansão binomial gere:
1r pm cong 1r(1 mp dr cos theta)^-1 / 2 cong 1r(1 pm d2 r cos theta)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o potencial elétrico para pontos que estão longe de um dipolo. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente o potencial gerado por cargas elétricas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial de uma carga pontual:
V(r) = 14 pi varepsilon0 qr
Além disso, teremos que aplicar a lei dos cossenos e usar uma aproximação para quando a distância $ r $ é muito maior que a separação $ d $ das cargas do dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo é formado por duas cargas de mesmo módulo, mas de sinais opostos, separadas por uma distância $ d $. Vamos chamar as cargas de $ +q $ e $ -q $. Queremos encontrar o potencial resultante no ponto distante $ \boldsymbol{r} $ em relação ao dipolo.

Passo 3

Para calcular o potencial total no ponto $ \boldsymbol{r} $, precisamos somar os potenciais gerados por cada carga individualmente. Usando a fórmula do potencial de uma carga pontual, temos:
r
Onde $ r_{+} $ e $ r_{-} $ são as distâncias do ponto $ \boldsymbol{r} $ até cada uma das cargas $ +q $ e $ -q $, respectivamente.

Passo 4

Agora, precisamos expressar $ r_{+} $ e $ r_{-} $ em termos de $ r $ e $ d $. Isso é onde entra a dica A, que usa a lei dos cossenos:
r+
Aqui, $ \theta $ é o ângulo entre o vetor $ \boldsymbol{r} $ e o eixo do dipolo. Como estamos no regime $ r \gg d $, podemos simplificar essa expressão.

Passo 5

Vamos simplificar $ r_{ \pm} $ considerando que $ r \gg d $. A expansão binomial nos ajuda a aproximar $ \frac{1}{r_{ \pm}} $:
r pm
Negligenciamos os termos de ordem superior, já que $ \frac{d}{r} $ é muito pequeno.

Passo 6

Substituindo essa aproximação nas expressões de $ V_{+} $ e $ V_{-} $, temos:
V+
V-

Passo 7

Agora, somamos $ V_{+} $ e $ V_{-} $ para obter o potencial total $ V $:
V+

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão:
V = 14 pi varepsilon0 qr [ (1 - d2 r cos theta) - (1 + d2 r cos theta) ]
V = 14 pi varepsilon0 qr ( - dr cos theta )
V = -14 pi varepsilon0 q d cos thetar^2

Passo 9

Normalmente, definimos o momento dipolar $ \boldsymbol{p} $ como $ \boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d} $. Assim, podemos reescrever o potencial como:
p

Resposta

O potencial aproximado para pontos distantes do dipolo é:
V(r) = 14 pi varepsilon0 p cos thetar^2
onde $ p = q d $ é o momento dipolar.

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