A tabela abaixo mostra os resultados correspondentes ao efeito do tamanho de grão na tensão de deformação plástica para o Ti de alta pureza deformado de 4 %. Faça o gráfico de sigma em função de d^-1 / 2 e determine os parâmtros de HallPetch ke e sigma0.
|c|c|c|c|c| hline$sigma(MPa)$ & 321 & 278 & 255 & 193 hline $d(mu m)$ & 1,1 & 2,0 & 3,3 & 28,0 hline 321 278 255 193
1,1 2,0 3,3 28,0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar como o tamanho de grão ( d) afeta a tensão de deformação plástica ( sigma) no titânio (Ti) de alta pureza deformado em 4%. Isso está relacionado à equação de Hall-Petch, que descreve como a resistência de um material varia com o tamanho de seus grãos. Para resolver, vamos precisar dos dados fornecidos na tabela e aplicar a teoria da relação de Hall-Petch.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de Hall-Petch, que é dada por:
sigma = sigma0 + ke d^-1/2
Aqui:
  • sigma é a tensão de deformação plástica,
  • sigma0 é a tensão intrínseca do material (tensão quando o tamanho de grão tende ao infinito),
  • ke é o parâmetro de Hall-Petch (constante que relaciona a resistência com o tamanho de grão),
  • d é o tamanho do grão.
Nosso objetivo é encontrar os valores de sigma0 e ke a partir dos dados fornecidos.

Passo 3

Vamos organizar os dados fornecidos:
|c|c|c|c|c| hline sigma (MPa) & 321 & 278 & 255 & 193 hline d (mu m) & 1,1 & 2,0 & 3,3 & 28,0 hline
Como a equação de Hall-Petch relaciona sigma com d^-1/2, vamos calcular d^-1/2 para cada valor de d:
d^-1/2 = 1raizd

Passo 4

Calculando d^-1/2 para cada tamanho de grão:
|c|c|c|c|c| hline d (mu m) & 1,1 & 2,0 & 3,3 & 28,0 hline d^-1/2 (mu m^-1/2) & 1raiz1,1 approx 0,953 & 1raiz2,0 approx 0,707 & 1raiz3,3 approx 0,550 & 1raiz28,0 approx 0,189 hline

Passo 5

Agora, vamos plotar sigma em função de d^-1/2. Assim, teremos um gráfico onde o eixo x é d^-1/2 e o eixo y é sigma. Isso deve resultar em uma linha reta se a relação de Hall-Petch se aplica, onde a inclinação da linha será ke e o intercepto no eixo y será sigma0.

Passo 6

Para encontrar sigma0 e ke, podemos usar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma linha reta aos dados plotados. A equação da reta será:
sigma = sigma0 + ke d^-1/2
Calculando os parâmetros de ajuste (coeficientes) a partir dos dados:
Média de d^-1/2 &= 0,953 + 0,707 + 0,550 + 0,1894 approx 0,600 Média de sigma &= 321 + 278 + 255 + 1934 = 261,75 , MPa éé
Calculamos a covariância entre d^-1/2 e sigma e a variância de d^-1/2:
Cov(d^-1/2, sigma) &= (0,953 - 0,600)(321 - 261,75) + (0,707 - 0,600)(278 - 261,75) + dots4 approx 22,33 Var(d^-1/2) &= (0,953 - 0,600)^2 + (0,707 - 0,600)^2 + dots4 approx 0,075
Então, a inclinação ke é:
ke = Cov(d^-1/2, sigma)Var(d^-1/2) approx 22,330,075 approx 297,07 , MPa,mu m^1/2
E o intercepto sigma0 é:
sigma0 = Média de sigma - ke times Média de d^-1/2 approx 261,75 - 297,07 times 0,600 approx 261,75 - 178,24 approx 83,51 , MPa éé

Resposta

Os parâmetros de Hall-Petch são aproximadamente ke = 297,07 , MPa,mu m^1/2 e sigma0 = 83,51 , MPa.

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