r(t)=2 t^3 i-t^2 j
com a posição dada em metros e o tempo em segundos.
(a) Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo.
(b) Qual a aceleração instantânea do objeto para o tempo t=2 s? Faça um esboço desse vetor.

Passo 1

Beleza, vamos resumir: o exercício dá a função posição

e pede duas coisas:
  1. a expressão geral da velocidade ,
  2. a aceleração instantânea em e um esboço desse vetor.
    Conteúdo envolvido: derivada de funções vetor componente a componente, já que velocidade é a derivada da posição e aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar vec v(t) = 6t^2,i ;-;2t,j .
Teoria rápida: para cada componente, a derivada de é .
  • Na componente : derivada de é .
  • Na componente : derivada de é .
    Logo:

Passo 3

Agora, a aceleração vec a(t) = 12t,i ;-;2,j . Mesma ideia, derivamos cada componente de :
  • Componente : derivada de é .
  • Componente : derivada de é .
    Então:

Passo 4

Aceleração instantânea em vec a(2) = 12cdot2,i ;-;2,j = 24,i ;-;2,j : basta pôr em :
Esboço rápido desse vetor:
  • Sobe “24” unidades no eixo (i) e vai “–2” no eixo (j).
    Imagina um vetor grande apontando quase todo pra direita e um pouquinho pra baixo.

Resposta

(a)
(b) (vetor apontando forte em , ligeiramente em ).

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