Questão 4 - Um jogador de futebol de um time que mora na cobertura de um prédio de 30 m de altura estava comemorando a vitória do seu time junto à sua torcida. Os torcedores pediram para ele chutar uma bola autografada para a galera. Ele chutou a bola com uma velocidade inicial de
a um ângulo de
acima da horizontal. a) Quais são as condições necessárias para a solução ideal desse problema? )Calcule a altura máxima, acima do telhado, atingida pela bola. c)A velocidade da bola e a energia cinética quando ela está prestes a tocar o solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
-
Informações fornecidas:
- A bola é chutada do topo de um prédio com altura
(logo a altura inicial em relação ao solo é ). - Velocidade inicial
. - Ângulo de lançamento
acima da horizontal. - A bola é um projétil lançado do telhado; devemos achar coisas ao considerar o movimento até o solo.
- A bola é chutada do topo de um prédio com altura
-
Perguntas do enunciado:
a) Quais são as condições necessárias para a solução ideal deste problema?
b) Calcule a altura máxima, acima do telhado, atingida pela bola.
c) Calcule a velocidade da bola e a energia cinética quando ela está prestes a tocar o solo.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
(a) Resposta didática sobre as condições necessárias para a solução ideal (o que podemos assumir para tratar o problema como um lançamento de projétil simples):
- Não há resistência do ar (arrasto) sobre a bola. Explicação: se houvesse arrasto, a componente horizontal diminuiria com o tempo e as equações de movimento mudariam para incluir termos dependentes da velocidade; isso complica muito e exige dados extras (coeficiente de arrasto, área, densidade do ar).
- A aceleração da gravidade é constante e vertical, com valor
(para exercícios use-se esse valor padrão). Explicação: assumimos campo gravitacional uniforme perto da superfície da Terra. - A bola é tratada como partícula (massa concentrada num ponto). Explicação: desprezamos rotação, deformações e dimensões da bola.
- O solo é plano e horizontal, a altura de referência é o solo
. Explicação: assim podemos usar a equação . - Lançamento instantâneo com velocidade inicial dada em relação ao solo (não há contato posterior com superfícies até o impacto).
Essas condições permitem usar as equações do movimento uniforme na direção horizontal e do movimento uniformemente variado na direção vertical, sem termos adicionais complicando.
Passo 3
Decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (passo fundamental para todo lançamento oblíquo).
-
Fórmulas (o que significam):
- A componente horizontal da velocidade inicial é
. Aqui é a razão entre a componente horizontal e a hipotenusa . - A componente vertical da velocidade inicial é
. Aqui é a razão entre a componente vertical e .
- A componente horizontal da velocidade inicial é
-
Aplicando números:
-
-
- Valor numérico aproximado:
-
Comentário amigo: pense que o chute foi bem inclinado (60°), então a componente vertical é maior que a horizontal.
Passo 4
(b) Cálculo da altura máxima acima do telhado (ou seja, aumento de altura a partir do ponto de lançamento até o vértice do trajeto).
-
Conceito/fórmula usada: para a componente vertical, quando a bola atinge a altura máxima a velocidade vertical é zero. Podemos usar a relação cinemática que liga velocidades e deslocamento sem envolver o tempo:onde
é a velocidade vertical em um instante, é a velocidade vertical inicial e é o deslocamento vertical (positiva para subir). No topo , então -
Substituindo os valores:Calculemos:
Interpretação: a bola sobe aproximadamente
acima do telhado antes de começar a descer.
Passo 5
Preparando para (c): achar o instante em que a bola atinge o solo (tempo de voo total) — vamos resolver a equação do movimento vertical até
.
-
Equação vertical do movimento (origem no solo,
): Queremos, então -
Substituindo
e : Colocando na forma padrão. -
Resolvendo a equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara (explico: para
, ; aqui , , ). É mais simples usar a forma equivalente: que vem da própria solução da quadrática (escolhemos o sinal + porque queremos a raiz positiva no futuro). -
Calculemos o discriminante dentro da raiz:
- Então
Comentário: esse é o tempo total desde o lançamento até o impacto no solo.
Passo 6
(c) Velocidade da bola imediatamente antes de tocar o solo — componentes e módulo.
-
A componente horizontal é constante (sem arrasto):
-
A componente vertical no instante do impacto pode ser obtida por
. Usando o calculado: O sinal negativo indica que está dirigindo-se para baixo. -
Observação elegante (sem precisar calcular o tempo): podemos também obter a componente vertical por conservação da energia vertical (ou pela relação
ao descer de até ), o que leva a que coincide com o valor acima (o sinal negativo porque está para baixo). -
Módulo da velocidade (rapidez):Valor numérico:
Passo 7
(c) Energia cinética imediatamente antes do impacto.
-
Fórmula: energia cinética éonde
é a massa da bola (não fornecida no enunciado). Portanto devemos expressar em função de . -
Substituindo
: -
Interpretação: se você soubesse a massa (por exemplo, uma bola de futebol tem massa típica cerca de
), poderia calcular numericamente : para , (Mas como o enunciado não deu, a forma exata é .)
Resposta
(a) Não haver resistência do ar; gravidade constante
; bola tratada como partícula; solo plano horizontal; lançamento do topo a
.\n
(b) .\n
(c) Energia cinética:
(b)
(c)