Questão 4 - Um jogador de futebol de um time que mora na cobertura de um prédio de 30 m de altura estava comemorando a vitória do seu time junto à sua torcida. Os torcedores pediram para ele chutar uma bola autografada para a galera. Ele chutou a bola com uma velocidade inicial de 16,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a um ângulo de 60^{\circ} acima da horizontal. a) Quais são as condições necessárias para a solução ideal desse problema? )Calcule a altura máxima, acima do telhado, atingida pela bola. c)A velocidade da bola e a energia cinética quando ela está prestes a tocar o solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informações fornecidas:
    • A bola é chutada do topo de um prédio com altura 30\\ \mathrm{m} (logo a altura inicial em relação ao solo é y_0=30\\ \mathrm{m}).
    • Velocidade inicial v_0 = 16,0\\ \mathrm{m/s}.
    • Ângulo de lançamento \theta = 60^\circ acima da horizontal.
    • A bola é um projétil lançado do telhado; devemos achar coisas ao considerar o movimento até o solo.
  • Perguntas do enunciado:
    a) Quais são as condições necessárias para a solução ideal deste problema?
    b) Calcule a altura máxima, acima do telhado, atingida pela bola.
    c) Calcule a velocidade da bola e a energia cinética quando ela está prestes a tocar o solo.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

(a) Resposta didática sobre as condições necessárias para a solução ideal (o que podemos assumir para tratar o problema como um lançamento de projétil simples):
  • Não há resistência do ar (arrasto) sobre a bola. Explicação: se houvesse arrasto, a componente horizontal diminuiria com o tempo e as equações de movimento mudariam para incluir termos dependentes da velocidade; isso complica muito e exige dados extras (coeficiente de arrasto, área, densidade do ar).
  • A aceleração da gravidade é constante e vertical, com valor \;g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} (para exercícios use-se esse valor padrão). Explicação: assumimos campo gravitacional uniforme perto da superfície da Terra.
  • A bola é tratada como partícula (massa concentrada num ponto). Explicação: desprezamos rotação, deformações e dimensões da bola.
  • O solo é plano e horizontal, a altura de referência é o solo y=0. Explicação: assim podemos usar a equação y(t)=y_0+v_{y0}t-\tfrac12 g t^2.
  • Lançamento instantâneo com velocidade inicial dada em relação ao solo (não há contato posterior com superfícies até o impacto).
Essas condições permitem usar as equações do movimento uniforme na direção horizontal e do movimento uniformemente variado na direção vertical, sem termos adicionais complicando.

Passo 3

Decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (passo fundamental para todo lançamento oblíquo).
  • Fórmulas (o que significam):
    • A componente horizontal da velocidade inicial é \;v_{0x} = v_0\cos\theta. Aqui \cos\theta é a razão entre a componente horizontal e a hipotenusa v_0.
    • A componente vertical da velocidade inicial é \;v_{0y} = v_0\sin\theta. Aqui \sin\theta é a razão entre a componente vertical e v_0.
  • Aplicando números:
    • \displaystyle v_{0x} = 16,0\cdot\cos 60^\circ = 16,0\cdot 0,5 = 8,0\\ \mathrm{m/s}.
    • \displaystyle v_{0y} = 16,0\cdot\sin 60^\circ = 16,0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
    • Valor numérico aproximado: \displaystyle v_{0y} = 8\sqrt{3}\approx 13,856\\ \mathrm{m/s}.
Comentário amigo: pense que o chute foi bem inclinado (60°), então a componente vertical é maior que a horizontal.

Passo 4

(b) Cálculo da altura máxima acima do telhado (ou seja, aumento de altura a partir do ponto de lançamento até o vértice do trajeto).
  • Conceito/fórmula usada: para a componente vertical, quando a bola atinge a altura máxima a velocidade vertical é zero. Podemos usar a relação cinemática que liga velocidades e deslocamento sem envolver o tempo:
    v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\Delta y,
    onde v_y é a velocidade vertical em um instante, v_{0y} é a velocidade vertical inicial e \Delta y é o deslocamento vertical (positiva para subir). No topo v_y=0, então
    0 = v_{0y}^2 - 2g \Delta y \quad\Rightarrow\quad \Delta y = \frac{v_{0y}^2}{2g}.
  • Substituindo os valores:
    \Delta y = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2\cdot 9,80} = \frac{64\cdot 3}{19,6} = \frac{192}{19,6}.
    Calculemos:
    \Delta y = 9,795918\ldots\\ \mathrm{m}\approx 9,80\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a bola sobe aproximadamente 9,80\\ \mathrm{m} acima do telhado antes de começar a descer.

Passo 5

Preparando para (c): achar o instante em que a bola atinge o solo (tempo de voo total) — vamos resolver a equação do movimento vertical até y=0.
  • Equação vertical do movimento (origem no solo, y_0=30\\ \mathrm{m}):
    y(t) = y_0 + v_{0y} t - \tfrac12 g t^2.
    Queremos y(t)=0, então
    0 = 30 + v_{0y} t - \tfrac12 g t^2.
  • Substituindo v_{0y}=8\sqrt{3} e g=9,80:
    0 = 30 + (8\sqrt{3})t - 4,9\,t^2.
    Colocando na forma padrão 4,9\,t^2 - (8\sqrt{3})t - 30 = 0.
  • Resolvendo a equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara (explico: para at^2+bt+c=0, t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}; aqui a=4,9, b=-(8\sqrt{3}), c=-30). É mais simples usar a forma equivalente:
    t=\frac{v_{0y}+\sqrt{v_{0y}^2+2gy_0}}{g},
    que vem da própria solução da quadrática (escolhemos o sinal + porque queremos a raiz positiva no futuro).
  • Calculemos o discriminante dentro da raiz:
    v_{0y}^2 + 2g y_0 = (8\sqrt{3})^2 + 2\cdot 9,80\cdot 30 = 192 + 588 = 780.
\sqrt{780}\approx 27,92848.
  • Então t = \frac{8\sqrt{3} + \sqrt{780}}{9,80} \approx \frac{13,856406 + 27,928480}{9,80} \approx 4,2638\\ \mathrm{s}.
Comentário: esse é o tempo total desde o lançamento até o impacto no solo.

Passo 6

(c) Velocidade da bola imediatamente antes de tocar o solo — componentes e módulo.
  • A componente horizontal é constante (sem arrasto):
    v_x = v_{0x} = 8,0\\ \mathrm{m/s}.
  • A componente vertical no instante do impacto pode ser obtida por v_y = v_{0y} - g t. Usando o t calculado:
    v_y = 8\sqrt{3} - 9,80\cdot 4,2638 \approx 13,8564 - 41,7849 \approx -27,9285\\ \mathrm{m/s}.
    O sinal negativo indica que está dirigindo-se para baixo.
  • Observação elegante (sem precisar calcular o tempo): podemos também obter a componente vertical por conservação da energia vertical (ou pela relação v_y^2 = v_{0y}^2 + 2g y_0 ao descer de y_0 até y=0), o que leva a
    v_y = -\sqrt{780}\approx -27,9285\\ \mathrm{m/s},
    que coincide com o valor acima (o sinal negativo porque está para baixo).
  • Módulo da velocidade (rapidez):
    v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{8,0^2 + (-27,9285)^2} = \sqrt{64 + 780} = \sqrt{844}.
    Valor numérico:
    v = \sqrt{844}\approx 29,05\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

(c) Energia cinética imediatamente antes do impacto.
  • Fórmula: energia cinética é
    K=\tfrac12 m v^2,
    onde m é a massa da bola (não fornecida no enunciado). Portanto devemos expressar K em função de m.
  • Substituindo v^2 = 844:
    K = \tfrac12 m \cdot 844 = 422\,m\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: se você soubesse a massa (por exemplo, uma bola de futebol tem massa típica cerca de m\approx 0,43\\ \mathrm{kg}), poderia calcular numericamente K: para m=0,43,
    K \approx 422\cdot 0,43 \approx 181,5\\ \mathrm{J}.
    (Mas como o enunciado não deu m, a forma exata é 422\,m\\ \mathrm{J}.)

Resposta

(a) Não haver resistência do ar; gravidade constante g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}; bola tratada como partícula; solo plano horizontal; lançamento do topo a y_0=30\\ \mathrm{m}.\n
(b) 9,80\\ \mathrm{m}.\n
(c) v_x=8,0\\ \mathrm{m/s},\; v_y\approx -27,93\\ \mathrm{m/s},\; v\approx 29,05\\ \mathrm{m/s}. Energia cinética: K=\tfrac12 m v^2 = 422\,m\\ \mathrm{J}.

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