Questão 2 - Considere que um carrinho de uma montanha russa, partiu do repouso de uma altura \mathrm{h}_{\mathrm{a}}. No ponto mais baixo do loop é o ponto b e o ponto mais alto do looping é dado por \mathrm{h}_{\mathrm{c}}, o raio do looping é R . (a) Estime a velocidade do carrinho no ponto mais alto do looping em função do raio do looping. Se \mathrm{h}_{\mathrm{a}}=3,50 \mathrm{R} e \mathrm{R}=30,0 m , calcule a velocidade.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a velocidade do carrinho no ponto mais alto do looping (ponto c) em função do raio R e, em seguida, calcular esse valor quando \mathrm{h}_{\mathrm{a}}=3{,}50\,R e R=30{,}0\\ \mathrm{m}.
Informações dadas:
\mathrm{h}_{\mathrm{a}}=3{,}50\,R,\qquad R=30{,}0\\ \mathrm{m}.
O ponto mais alto do looping tem altura \mathrm{h}_{\mathrm{c}} medida em relação ao ponto mais baixo do loop; geometricamente, o topo do loop está a uma altura igual a 2R acima do ponto mais baixo (peguei essa informação da geometria do loop: raio R implica diâmetro 2R).
Não foi dada nenhuma força dissipativa, então vamos considerar que não há atrito nem perdas (assunção padrão a menos que o enunciado diga o contrário).

Passo 2

Conservação da energia mecânica — explicação didática:
Quando não há perdas (por atrito, resistência do ar, etc.), a energia mecânica total se conserva. A energia potencial gravitacional de um objeto de massa m na altura h é dada por
U = m g h,
onde g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}) e m é a massa do carrinho. A energia cinética de um corpo com velocidade v é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
Conservação da energia entre dois pontos significa que a soma U+K no ponto inicial é igual à soma U+K no ponto final.

Passo 3

Aplicando conservação de energia entre a posição inicial (altura \mathrm{h}_{\mathrm{a}}, partiu do repouso, então velocidade inicial v_{\mathrm{a}}=0) e o topo do loop (altura \mathrm{h}_{\mathrm{c}}, velocidade v_{\mathrm{c}}):
Energia inicial:
E_{\mathrm{a}} = m g \mathrm{h}_{\mathrm{a}} + \tfrac{1}{2} m v_{\mathrm{a}}^{2} = m g \mathrm{h}_{\mathrm{a}}.
Energia no topo:
E_{\mathrm{c}} = m g \mathrm{h}_{\mathrm{c}} + \tfrac{1}{2} m v_{\mathrm{c}}^{2}.
Igualando E_{\mathrm{a}}=E_{\mathrm{c}} e cancelando m (não precisamos do valor da massa):
g \mathrm{h}_{\mathrm{a}} = g \mathrm{h}_{\mathrm{c}} + \tfrac{1}{2} v_{\mathrm{c}}^{2}.
Isolando v_{\mathrm{c}}:
\tfrac{1}{2} v_{\mathrm{c}}^{2} = g(\mathrm{h}_{\mathrm{a}} - \mathrm{h}_{\mathrm{c}}),
v_{\mathrm{c}} = \sqrt{2 g (\mathrm{h}_{\mathrm{a}} - \mathrm{h}_{\mathrm{c}})}.

Passo 4

Agora use a relação geométrica \mathrm{h}_{\mathrm{c}}=2R e a entrada \mathrm{h}_{\mathrm{a}}=3{,}50\,R. Então
\mathrm{h}_{\mathrm{a}}-\mathrm{h}_{\mathrm{c}} = 3{,}50\,R - 2R = 1{,}50\,R.
Substituindo na expressão de v_{\mathrm{c}}:
v_{\mathrm{c}} = \sqrt{2 g (1{,}50\,R)} = \sqrt{3\,g\,R}.
Essa é a velocidade no topo do loop em função de R: \displaystyle v_{\mathrm{c}}=\sqrt{3 g R}.

Passo 5

Cálculo numérico com g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}} e R=30{,}0\\ \mathrm{m}:
3\,g\,R = 3 \times 9{,}80 \times 30{,}0 = 882.
v_{\mathrm{c}} = \sqrt{882}\approx 29{,}698\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando a três dígitos significativos (compatível com os dados), v_{\mathrm{c}}\approx 29{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cheque rápido (didático e motivador): para o carrinho permanecer em contato no topo do loop é necessário, no mínimo, que a força centrípeta seja fornecida pela gravidade (caso extremo com força normal zero), o que dá a condição
\frac{v_{\min}^{2}}{R}=g\quad\Rightarrow\quad v_{\min}=\sqrt{gR}.
Calculando \sqrt{gR}=\sqrt{9{,}80\times 30{,}0}\approx 17{,}15\\ \mathrm{m/s}. Nossa velocidade 29{,}7\\ \mathrm{m/s} é bem maior, então o carrinho passa pelo topo com folga (não cai).

Resposta

\displaystyle v_{\mathrm{c}}=\sqrt{3 g R}\approx 29{,}7\\ \mathrm{m/s}

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