Questão 2 - Considere que um carrinho de uma montanha russa, partiu do repouso de uma altura
. No ponto mais baixo do loop é o ponto b e o ponto mais alto do looping é dado por
, o raio do looping é R . (a) Estime a velocidade do carrinho no ponto mais alto do looping em função do raio do looping. Se
e
m , calcule a velocidade.
Passo 1
O enunciado pede para estimar a velocidade do carrinho no ponto mais alto do looping (ponto
) em função do raio
e, em seguida, calcular esse valor quando
e
.
Informações dadas:
O ponto mais alto do looping tem altura
medida em relação ao ponto mais baixo do loop; geometricamente, o topo do loop está a uma altura igual a
acima do ponto mais baixo (peguei essa informação da geometria do loop: raio
implica diâmetro
).
Não foi dada nenhuma força dissipativa, então vamos considerar que não há atrito nem perdas (assunção padrão a menos que o enunciado diga o contrário).
Não foi dada nenhuma força dissipativa, então vamos considerar que não há atrito nem perdas (assunção padrão a menos que o enunciado diga o contrário).
Passo 2
Conservação da energia mecânica — explicação didática:
Quando não há perdas (por atrito, resistência do ar, etc.), a energia mecânica total se conserva. A energia potencial gravitacional de um objeto de massa na altura
é dada por
Quando não há perdas (por atrito, resistência do ar, etc.), a energia mecânica total se conserva. A energia potencial gravitacional de um objeto de massa
onde
é a aceleração da gravidade (
) e
é a massa do carrinho. A energia cinética de um corpo com velocidade
é
Conservação da energia entre dois pontos significa que a soma
no ponto inicial é igual à soma
no ponto final.
Passo 3
Aplicando conservação de energia entre a posição inicial (altura
, partiu do repouso, então velocidade inicial
) e o topo do loop (altura
, velocidade
):
Energia inicial:
Energia no topo:
Igualando
e cancelando
(não precisamos do valor da massa):
Isolando
:
Passo 4
Agora use a relação geométrica
e a entrada
. Então
Substituindo na expressão de
:
Essa é a velocidade no topo do loop em função de
:
.
Passo 5
Cálculo numérico com
e
:
Arredondando a três dígitos significativos (compatível com os dados),
.
Passo 6
Cheque rápido (didático e motivador): para o carrinho permanecer em contato no topo do loop é necessário, no mínimo, que a força centrípeta seja fornecida pela gravidade (caso extremo com força normal zero), o que dá a condição
Calculando
. Nossa velocidade
é bem maior, então o carrinho passa pelo topo com folga (não cai).