Encontre, precisão de pelo menos 4 casas decimais, o valor aproximado de:
integral0^1 e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^1 e^-x^2,dx
com pelo menos quatro casas decimais de precisão. Como não há primitiva elementar para e^-x^2, vamos usar a expansão em série de Taylor de e^-x^2 em torno de x=0 e integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Taylor de e^-x^2 é
e^-x^2 = sumk=0^infty (-1)^kk!,x^2k
Integrando de 0 a 1:
integral0^1 e^-x^2,dx = sumk=0^infty (-1)^kk!integral0^1 x^2k,dx = sumk=0^infty (-1)^kk!,12k+1
Denotando o termo geral por
ak = (-1)^kk!,(2k+1),
temos integral0^1 e^-x^2,dx = sumk=0^infty ak

Passo 3

Vamos calcular as somas parciais
Sn = sumk=0^n ak
até que a diferença |Sn-Sn-1| seja menor que 10^-5, garantindo quatro casas decimais corretas:
k =0: a0=1/(1cdot1)=1 Rightarrow S0=1
k =1: a1=-1/(1cdot3)=-0,33333333 Rightarrow S1=0,66666667
k =2: a2=1/(2cdot5)=0,10000000 Rightarrow S2=0,76666667
k =3: a3=-1/(6cdot7)approx-0,02380952 Rightarrow S3=0,74285714
k =4: a4=1/(24cdot9)approx0,00462963 Rightarrow S4=0,74748677
k =5: a5=-1/(120cdot11)approx-0,00075758 Rightarrow S5=0,74672919
k =6: a6=1/(720cdot13)approx0,00010684 Rightarrow S6=0,74683603
k =7: a7=-1/(5040cdot15)approx-0,00001323 Rightarrow S7=0,74682280
k =8: a8=1/(40320cdot17)approx0,00000146 Rightarrow S8=0,74682426
Em k=8 a diferença |S8-S7|approx1,46times10^-6<10^-5, logo já atingimos a precisão desejada.

Passo 4

Com isso, tomamos
integral0^1 e^-x^2,dx approx S8 = 0,74682426
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos 0,7468.

Resposta

0,7468

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