Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x),
f(x)=x^21+2 x

Passo 1

O enunciado pede f'(x) e f''(x) para
f(x)=x^21+2x
Vamos usar a regra do quociente para obter f'(x) e depois as regras do produto e da cadeia para obter f''(x).

Passo 2

Aplicando a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=x^2 e v(x)=1+2x, logo u'(x)=2x e v'(x)=2. Portanto
f'(x) =(2x)(1+2x)-x^2,(2)(1+2x)^2

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
(2x)(1+2x)-2x^2 =2x+4x^2-2x^2 =2x+2x^2 =2x(x+1)
Assim
f'(x)=2x(x+1)(1+2x)^2

Passo 4

Para f''(x), escrevemos
f'(x)=2x(x+1),(1+2x)^-2
e usamos a regra do produto e da cadeia. Definimos
u(x)=2x(x+1), v(x)=(1+2x)^-2
Então
u'(x)=4x+2, v'(x)=-2,(1+2x)^-3cdot2=-4,(1+2x)^-3
Logo
f''(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =(4x+2)(1+2x)^-2-(2x^2+2x),4,(1+2x)^-3

Passo 5

Colocando (1+2x)^-3 em evidência:
f''(x) =(1+2x)^-3l[(4x+2)(1+2x)-4(2x^2+2x)r]
No colchete:
(4x+2)(1+2x)=8x^2+8x+2, -4(2x^2+2x)=-8x^2-8x,
que somam 2. Portanto
f''(x)=2(1+2x)^3

Resposta

f'(x)=2x(x+1)(1+2x)^2
f''(x)=2(1+2x)^3

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