Seja f definida por f(x)=lx^3+2 x^2+xx^3+5 x^2+7 x+3 se x neq-3, x neq-1 0 se x=-3 -12 se x=-1
(a) A função está definida em R ?
(b) Dê os pontos onde f é contínua.
(c) Dê os ponos onde f é descontínua.
(d) A função f é contínua em R ?

Passo 1

O enunciado define a função f por partes:
  • Para x neq -3 e x neq -1,
f(x) = x^3 + 2x^2 + xx^3 + 5x^2 + 7x + 3
  • Para x = -3, f(-3) = 0.
  • Para x = -1, f(-1) = -tfrac12.
    O conteúdo é análise de domínio e continuidade; vamos precisar fatorar polinômios e verificar limites.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^3+2x^2+x = x(x+1)^2,
x^3+5x^2+7x+3 = (x+1)^2(x+3)
Logo, para xneq -3,-1,
f(x)=x(x+1)^2(x+1)^2(x+3)=xx+3

Passo 3

Como a definição de f dá valores também em x=-3 e em x=-1, o domínio de f é todo R.

Passo 4

Para xneq -3,-1, f(x)=x/(x+3) é uma função racional contínua. Em x=-1,
limxto -1xx+3 = -12,
que coincide com f(-1)=-tfrac12. Portanto f é contínua em x=-1.

Passo 5

Em x=-3, o denominador de x/(x+3) zera e
limxto -3xx+3
não é finito (tende a pminfty), logo não existe limite finito. Assim f é descontínua em x=-3.

Resposta

(a) Sim, f está definida em todo R.
(b) f é contínua em Rsetminus-3.
(c) f é descontínua em x=-3.
(d) Não, f não é contínua em R (há descontinuidade em -3).

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