Seja definida por
(a) A função está definida em R ?
(b) Dê os pontos onde f é contínua.
(c) Dê os ponos onde f é descontínua.
(d) A função f é contínua em R ?
Passo 1
O enunciado define a função f por partes:
Para x neq -3 e x neq -1,
f(x) = x^3 + 2x^2 + xx^3 + 5x^2 + 7x + 3
Para x = -3, f(-3) = 0.
Para x = -1, f(-1) = -tfrac12.
O conteúdo é análise de domínio e continuidade; vamos precisar fatorar polinômios e verificar limites.
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador:
x^3+2x^2+x = x(x+1)^2,
x^3+5x^2+7x+3 = (x+1)^2(x+3)
Logo, para xneq -3,-1,
f(x)=x(x+1)^2(x+1)^2(x+3)=xx+3
Passo 3
Como a definição de f dá valores também em x=-3 e em x=-1, o domínio de f é todo R.
Passo 4
Para xneq -3,-1, f(x)=x/(x+3) é uma função racional contínua. Em x=-1,
limxto -1xx+3 = -12,
que coincide com f(-1)=-tfrac12. Portanto f é contínua em x=-1.
Passo 5
Em x=-3, o denominador de x/(x+3) zera e
limxto -3xx+3
não é finito (tende a pminfty), logo não existe limite finito. Assim f é descontínua em x=-3.
Resposta
(a) Sim, f está definida em todo R.
(b) f é contínua em Rsetminus-3.
(c) f é descontínua em x=-3.
(d) Não, f não é contínua em R (há descontinuidade em -3).