Questão 5 ( 0,5 ponto). Verifique se f(x, y)=sen(x^2+y^2) é diferenciável em R^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=senl(x^2+y^2r)
é diferenciável em R^2. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e usaremos cálculo de derivadas parciais e o critério de existência de parciais contínuas (função C^1).

Passo 2

Escrevemos f como composição de duas funções suaves:
g(x,y)=x^2+y^2, h(u)=sen(u),
de modo que f(x,y)=hl(g(x,y)r). Aplicando a regra da cadeia, vamos calcular as derivadas parciais de f.

Passo 3

Para partial f/partial x temos
partial fpartial x(x,y) = h'l(g(x,y)r),partial gpartial x(x,y) = cosl(x^2+y^2r)cdot 2x =2xcosl(x^2+y^2r)
Analogamente, para partial f/partial y
partial fpartial y(x,y) = h'l(g(x,y)r),partial gpartial y(x,y) = cosl(x^2+y^2r)cdot 2y =2ycosl(x^2+y^2r)

Passo 4

Observe que cos(x^2+y^2) é contínua em R^2 e 2x, 2y também são contínuos. Logo as componentes
(x,y)mapsto 2xcos(x^2+y^2), (x,y)mapsto 2ycos(x^2+y^2)
são funções contínuas em R^2. Assim, f tem derivadas parciais contínuas em todo ponto de R^2.

Passo 5

Pelo teorema que afirma que se uma função de várias variáveis possui derivadas parciais que são contínuas num entorno de um ponto, então ela é diferenciável naquele ponto, concluímos que f é diferenciável em toda R^2.

Resposta

A função f(x,y)=sen(x^2+y^2) é diferenciável em R^2.

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