Questão 5 ( 0,5 ponto). Verifique se
é diferenciável em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em
. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e usaremos cálculo de derivadas parciais e o critério de existência de parciais contínuas (função
).
Passo 2
Escrevemos
como composição de duas funções suaves:
de modo que
. Aplicando a regra da cadeia, vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Para
temos
Analogamente, para
Passo 4
Observe que
é contínua em
e
,
também são contínuos. Logo as componentes
são funções contínuas em
. Assim,
tem derivadas parciais contínuas em todo ponto de
.
Passo 5
Pelo teorema que afirma que se uma função de várias variáveis possui derivadas parciais que são contínuas num entorno de um ponto, então ela é diferenciável naquele ponto, concluímos que
é diferenciável em toda
.
Resposta
A função
é diferenciável em
.