Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x),
f(x)=xx^2-1

Passo 1

O enunciado pede as primeiras e segundas derivadas de
f(x)=xx^2-1
Vamos usar a regra do quociente para f'(x) e depois a regra do produto junto com a regra da cadeia para f''(x).

Passo 2

Sejam
u(x)=x, v(x)=x^2-1,
então
u'(x)=1, v'(x)=2x
e a regra do quociente dá
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(x^2-1)-xcdot2x(x^2-1)^2

Passo 3

No numerador temos
x^2-1-2x^2=-x^2-1,
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f'(x)=-x^2+1(x^2-1)^2

Passo 4

Para achar f''(x) escrevemos
f'(x)=-,(x^2+1),(x^2-1)^-2
e aplicamos a regra do produto e da cadeia:

Passo 5

Derivando
f''(x) =-l[,2x,(x^2-1)^-2+(x^2+1)cdot(-2),(x^2-1)^-3cdot2xr]
f''(x) =-2x,(x^2-1)^-3l[(x^2-1)-2(x^2+1)r] =2x,(x^2+3),(x^2-1)^-3

Resposta

f'(x)=-x^2+1(x^2-1)^2, f''(x)=2x,(x^2+3)(x^2-1)^3

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