Encontre y^{\prime} nas equações abaixo (lembre-se que y é dado implicitamente em termos de x ):
\sqrt{x y}=\frac{y}{x^{2}+1}\

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
\sqrt{x\,y} = \frac{y}{x^{2}+1}
e pede \,y' em função de x e y. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x\,y}\bigr) = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x^{2}+1}\Bigr).

Passo 3

Para o lado esquerdo, use a cadeia: \sqrt{x\,y}=(x\,y)^{1/2}. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x\,y}\bigr) = \frac12\,(x\,y)^{-1/2}\,\frac{d}{dx}(x\,y) = \frac{1}{2\sqrt{x\,y}}\bigl(y + x\,y'\bigr).

Passo 4

Para o lado direito, use a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x^{2}+1}\Bigr) = \frac{(x^{2}+1)\,y' - y\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{(x^{2}+1)\,y' -2x\,y}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Igualando as derivadas:
\frac{y + x\,y'}{2\sqrt{x\,y}} = \frac{(x^{2}+1)\,y' -2x\,y}{(x^{2}+1)^{2}}.
Multiplicamos em cruz pelos denominadores 2\sqrt{x\,y} e (x^{2}+1)^{2}:
\bigl(y + x\,y'\bigr)(x^{2}+1)^{2} = 2\sqrt{x\,y}\,\bigl((x^{2}+1)\,y' -2x\,y\bigr).

Passo 6

Expandindo cada lado:
(x^{2}+1)^{2}\,y \;+\;(x^{2}+1)^{2}\,x\,y' = 2\sqrt{x\,y}\,(x^{2}+1)\,y' \;-\;4x\sqrt{x\,y}\,y.

Passo 7

Agrupamos os termos que contêm y' num lado e os demais no outro:
(x^{2}+1)^{2}\,x\,y' \;-\;2\sqrt{x\,y}\,(x^{2}+1)\,y' = -\,(x^{2}+1)^{2}\,y \;-\;4x\sqrt{x\,y}\,y.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\Bigl[x\,(x^{2}+1)^{2} \;-\;2\sqrt{x\,y}\,(x^{2}+1)\Bigr] = -\,y\Bigl[(x^{2}+1)^{2} \;+\;4x\sqrt{x\,y}\Bigr].

Passo 8

Finalmente, isolamos y':
y' = \frac{-\,y\bigl[(x^{2}+1)^{2} +4x\sqrt{x\,y}\bigr]} {(x^{2}+1)\bigl[x(x^{2}+1) -2\sqrt{x\,y}\bigr]}.

Resposta

y' = \frac{-\,y\bigl[(x^{2}+1)^{2} +4x\sqrt{x\,y}\bigr]} {(x^{2}+1)\bigl[x(x^{2}+1) -2\sqrt{x\,y}\bigr]}.

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