Questão 4. Calcule a derivada da função inversa de cada uma das funções abaixo:
\cot x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função inversa de f(x)=\cot x. O conteúdo aqui é derivada de função inversa, cuja fórmula geral é
(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.

Passo 2

Primeiro identificamos f(x)=\cot x. Vamos calcular f'(x). Sabendo que
\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x,
temos
f'(x) = -\csc^2 x.

Passo 3

Pela fórmula da derivada da inversa,
(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)} = \frac{1}{-\csc^2\bigl(f^{-1}(x)\bigr)} = -\sin^2\bigl(f^{-1}(x)\bigr).

Passo 4

Como f^{-1}(x)=\arccot(x), usamos a identidade
\sin^2\bigl(\arccot(x)\bigr) = \frac{1}{1+\cot^2\bigl(\arccot(x)\bigr)} = \frac{1}{1+x^2}.
Substituindo na expressão anterior,
(f^{-1})'(x) = -\frac{1}{1+x^2}.

Resposta

(f^{-1})'(x) = -\frac{1}{1+x^2}.

Exercícios relacionados