Questão 4. Calcule a derivada da função inversa de cada uma das funções abaixo:
\cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da inversa de f(x)=\cos x, ou seja, queremos (f^{-1})'(x). O conteúdo aqui é regra da derivada de função inversa, e vamos precisar também da derivada de \cos x.

Passo 2

A fórmula da derivada de uma inversa diz que, se y=f(x) é invertível e f'(x)\neq0, então
(f^{-1})'(y)\;=\;\frac{1}{f'(x)},\quad\text{onde }x=f^{-1}(y).
No nosso caso, f'(x) = -\sin x.

Passo 3

Aplicando a fórmula para f(x)=\cos x, temos
(f^{-1})'(y)\;=\;\frac{1}{-\sin x} \quad\text{com}\quad x = f^{-1}(y) = \operatorname{arccos}(y).
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(f^{-1})'(y) \;=\; -\frac{1}{\sin\bigl(\operatorname{arccos}(y)\bigr)}.

Passo 4

Para simplificar usamos a identidade
\sin\bigl(\operatorname{arccos}(y)\bigr)\;=\;\sqrt{1 - y^2},
válida para y\in(-1,1). Assim
(f^{-1})'(y)\;=\;-\,\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}.

Resposta

\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr)' \;=\; -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},\quad x\in(-1,1).

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