Justifica que, quaisquer que sejam os inteiros
, y e
e
:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a operação de multiplicação seguida de redução módulo n é compatível com a associatividade da multiplicação em ℤ. O conteúdo aqui é aritmética modular e usamos a associatividade da multiplicação inteira e a propriedade de que restos iguais vêm de números iguais.
Passo 2
Em ℤ, a multiplicação é associativa. Ou seja, para quaisquer inteiros w, x e y vale
Passo 3
Pela definição de resto da divisão, se dois inteiros A e B são iguais, então seus resíduos módulo n também são iguais. Formalmente, se A = B então
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao resultado da associatividade temos
Passo 5
Assim, concluímos que a multiplicação antes de tomar módulo pode ser feita em qualquer ordem sem alterar o resultado do resto por n.
Resposta
((w × x) × y) mod n = (w × (x × y)) mod n, pois a multiplicação em ℤ é associativa e a operação de tomar módulo preserva igualdade de inteiros.