Use derivadas logarítmicas para derivar as seguintes funções:
g(t)=e^{t}\left(3 t^{2}+6 t\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(t)=e^{t}\bigl(3t^{2}+6t\bigr)^{4}
usando derivação logarítmica. Vamos usar a ideia de que, se definirmos h(t)=\ln g(t), então
\frac{g'(t)}{g(t)}=h'(t)\,.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln g(t)=\ln\bigl(e^{t}\bigr)+4\,\ln\bigl(3t^{2}+6t\bigr)
Como \ln(e^{t})=t, obtemos
\ln g(t)=t+4\,\ln\bigl(3t^{2}+6t\bigr)\,.

Passo 3

Derivamos em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(\ln g(t)\bigr) =1+4\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\ln\bigl(3t^{2}+6t\bigr)\bigr] =1+4\cdot\frac{6t+6}{3t^{2}+6t}\,.
Simplificando a fração interna:
\frac{6t+6}{3t^{2}+6t} =\frac{6(t+1)}{3t(t+2)} =\frac{2\,(t+1)}{t(t+2)},
logo
\frac{g'(t)}{g(t)} =1+4\cdot\frac{2\,(t+1)}{t(t+2)} =1+\frac{8\,(t+1)}{t(t+2)}.

Passo 4

Finalmente, multiplica-se pelo g(t) original para obter g'(t):
g'(t) =g(t)\,\Bigl(1+\frac{8\,(t+1)}{t(t+2)}\Bigr) =e^{t}\bigl(3t^{2}+6t\bigr)^{4}\Bigl(1+\frac{8\,(t+1)}{t(t+2)}\Bigr).
Podemos ainda usar 3t^{2}+6t=3t(t+2) para simplificar completamente:
(3t^{2}+6t)^{4}=3^{4}t^{4}(t+2)^{4}=81\,t^{4}(t+2)^{4}
e
1+\frac{8(t+1)}{t(t+2)} =\frac{t(t+2)+8(t+1)}{t(t+2)} =\frac{t^{2}+10t+8}{t(t+2)}.
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g'(t) =81\,e^{t}\,t^{4}(t+2)^{4}\;\frac{t^{2}+10t+8}{t(t+2)} =81\,e^{t}\,t^{3}(t+2)^{3}(t^{2}+10t+8).

Resposta

\boxed{g'(t)=81\,e^{t}\,t^{3}(t+2)^{3}(t^{2}+10t+8).}

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