Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- a derivada primeira
; - a derivada segunda
.
Informações relevantes que temos (isto vem do enunciado):
- A função é
. - Domínio exigido pela existência do logaritmo natural:
, logo .
Passo 2
Uma ideia útil antes de derivar é usar a propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão:
Aplicando isso em
obtemos uma forma somada, que facilita derivar termo a termo:
Passo 3
Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (e explicar o que cada símbolo significa):
- Derivada de uma constante multiplicando uma função:
Aqui
é uma constante (por exemplo
) e
é uma função de
.
- Regra do produto:
Aqui
e
são funções de
;
é a derivada de
e
a derivada de
.
- Derivada do logaritmo composto (regra da cadeia):
Aqui
é uma função de
e
é a sua derivada.
- Derivadas básicas que usaremos:
e (para ).
Passo 4
Vamos derivar termo a termo a expressão obtida em \
Passo 5
- Derivada de
. Aqui é constante, então
- Derivada de
. Aplicando a regra do produto com e :
Logo
Somando os dois resultados:
Usando novamente
podemos reescrever de forma mais compacta:
Também é comum fatorar
:
Passo 6
Agora calculamos
derivando
. Usamos a forma mais simples para aplicar regras:
Derivando o primeiro termo
usando regra do produto com
e
:
onde na última igualdade usei a regra da cadeia com
e
.
Aplicando a regra do produto:
Derivada do segundo termo
é
. Somando:
Passo 7
Resumo e observações finais:
- As fórmulas usadas são a regra do produto e a regra da cadeia para logaritmos compostos.
- As expressões finais estão válidas para
(domínio original). - Formas equivalentes que podemos apresentar: