Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
y=x^{2} \ln (2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2}\ln(2x) e pede:
  • a derivada primeira y';
  • a derivada segunda y''.
Informações relevantes que temos (isto vem do enunciado):
  • A função é y=x^{2}\ln(2x).
  • Domínio exigido pela existência do logaritmo natural: 2x>0, logo x>0.

Passo 2

Uma ideia útil antes de derivar é usar a propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão:
\ln(2x)=\ln 2+\ln x.
Aplicando isso em y obtemos uma forma somada, que facilita derivar termo a termo:
y = x^{2}\ln(2x)=x^{2}\ln 2 + x^{2}\ln x.

Passo 3

Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (e explicar o que cada símbolo significa):
  • Derivada de uma constante multiplicando uma função:
\text{se }c\text{ é constante, }(c\cdot f)'=c\cdot f'.é
Aqui c é uma constante (por exemplo \ln 2) e f é uma função de x.
  • Regra do produto:
(fg)'=f'g+fg'.
Aqui f e g são funções de x; f' é a derivada de f e g' a derivada de g.
  • Derivada do logaritmo composto (regra da cadeia):
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é uma função de x e u'(x) é a sua derivada.
  • Derivadas básicas que usaremos: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (para x>0).

Passo 4

Vamos derivar termo a termo a expressão obtida em \

Passo 5

y = x^{2}\ln 2 + x^{2}\ln x.
  1. Derivada de x^{2}\ln 2. Aqui \ln 2 é constante, então
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln 2\big)=\ln 2\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=\ln 2\cdot 2x=2x\ln 2.
  1. Derivada de x^{2}\ln x. Aplicando a regra do produto com f(x)=x^{2} e g(x)=\ln x:
f'(x)=2x,\qquad g'(x)=\frac{1}{x}.
Logo
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln x\big)=f'g+fg'=(2x)\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x + x.
Somando os dois resultados:
y' = 2x\ln 2 + \big(2x\ln x + x\big)=2x(\ln 2+\ln x)+x.
Usando novamente \ln 2+\ln x=\ln(2x) podemos reescrever de forma mais compacta:
y' = 2x\ln(2x) + x.
Também é comum fatorar x:
y' = x\big(2\ln(2x)+1\big).

Passo 6

Agora calculamos y'' derivando y'. Usamos a forma mais simples para aplicar regras:
y' = 2x\ln(2x) + x.
Derivando o primeiro termo 2x\ln(2x) usando regra do produto com f(x)=2x e g(x)=\ln(2x):
f'(x)=2,\qquad g'(x)=\frac{d}{dx}\ln(2x)=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x},
onde na última igualdade usei a regra da cadeia com u(x)=2x e u'(x)=2.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(2x\ln(2x)\big)=f'g+fg' = 2\ln(2x) + 2x\cdot\frac{1}{x} = 2\ln(2x) + 2.
Derivada do segundo termo x é 1. Somando:
y'' = \big(2\ln(2x) + 2\big) + 1 = 2\ln(2x) + 3.

Passo 7

Resumo e observações finais:
  • As fórmulas usadas são a regra do produto e a regra da cadeia para logaritmos compostos.
  • As expressões finais estão válidas para x>0 (domínio original).
  • Formas equivalentes que podemos apresentar:
y' = 2x\ln(2x) + x = x\big(2\ln(2x)+1\big), \qquad y'' = 2\ln(2x) + 3.

Resposta

y'=2x\ln(2x)+x
y''=2\ln(2x)+3

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