Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
y=e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y = e^{x^{2}} e pede:
  • A primeira derivada \displaystyle y' (derivada de primeira ordem).
  • A segunda derivada \displaystyle y'' (derivada de segunda ordem).
Informações relevantes dadas:
  • A função é a exponencial com expoente x^{2}.
  • Não há outros dados (valores numéricos) — só a expressão simbólica.

Passo 2

Antes de derivar, precisamos relembrar duas regras fundamentais (vou explicar bem devagar para ficar tranquilo):
  1. Regra da cadeia (para composição de funções): se \displaystyle y = f(g(x)), então
\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x).
Isto quer dizer: derivo a função externa em relação ao seu argumento e multiplico pela derivada do argumento (a função interna). Vou explicar com nomes claros: chamo u(x) a função interna e f(u) a externa; então \frac{dy}{dx} = f'(u)\cdot u'(x).
  1. Derivada da exponencial: se \displaystyle f(u)=e^{u}, então \displaystyle f'(u)=e^{u}. Ou seja, a derivada de e^{u} em relação a u é novamente e^{u}.
  2. Derivada de potência simples: \displaystyle \frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Também vamos precisar da regra do produto (para a segunda derivada): se \displaystyle h(x)=p(x)q(x), então
h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Com essas regras em mente (regra da cadeia, derivada de e^{u}, derivada de x^{2} e produto), estamos prontos para calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \displaystyle y'.
Passo 3.1 — identificar a função interna e a externa:
  • Função externa f(u)=e^{u}.
  • Função interna u(x)=x^{2}.
Passo 3.2 — aplicar a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = f'(u(x))\cdot u'(x).
Passo 3.3 — substituir f'(u)=e^{u} e u'(x)=2x:
\frac{dy}{dx} = e^{u(x)}\cdot 2x.
Passo 3.4 — voltar a u(x)=x^{2}:
\frac{dy}{dx} = 2x\,e^{x^{2}}.
Pronto: a primeira derivada é \displaystyle y'=2x\,e^{x^{2}}. Note que não se esqueceu de multiplicar pela derivada do expoente x^{2} (esse é o erro mais comum na prova).

Passo 4

Calcular a segunda derivada \displaystyle y''.
Temos \displaystyle y' = 2x\,e^{x^{2}}. Isso é produto de duas funções: p(x)=2x e q(x)=e^{x^{2}}. Usamos a regra do produto.
Passo 4.1 — calcular p'(x):
p(x)=2x \quad\Rightarrow\quad p'(x)=2.
Passo 4.2 — calcular q'(x) usando novamente a regra da cadeia:
  • q(x)=e^{x^{2}} tem interna x^{2} com derivada 2x, e externa e^{u} cuja derivada é e^{u}. Assim
q'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}}.
Passo 4.3 — aplicar a regra do produto:
y'' = p'(x)q(x) + p(x)q'(x).
Substituindo p',p,q,q':
y'' = 2\cdot e^{x^{2}} + (2x)\cdot (2x\,e^{x^{2}}).
Passo 4.4 — simplificar os termos:
y'' = 2e^{x^{2}} + 4x^{2}e^{x^{2}}.
Fatorando 2e^{x^{2}} (opcional, deixa a forma mais compacta):
y'' = 2\bigl(1+2x^{2}\bigr)e^{x^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que preferir na prova.

Passo 5

Pequenas verificações e dicas para a prova (sem cálculo extra difícil):
  • Verifique em x=0: \displaystyle y'(0)=2\cdot0\cdot e^{0}=0 e \displaystyle y''(0)=2\bigl(1+0\bigr)e^{0}=2. Isso confirma que a expressão para y'' não está errada por algum fator perdido.
  • Dica prática: sempre identifique claramente a função interna antes de aplicar a regra da cadeia; e, ao diferenciar um produto que tem um exponencial com composição, combine produto + cadeia como fizemos.
  • Respire fundo: esse tipo de questão é direto quando se lembra das regras e não pula o passo da derivada da função interna.

Resposta

\displaystyle y'=2x\,e^{x^{2}}
\displaystyle y''=2\bigl(1+2x^{2}\bigr)e^{x^{2}}

Exercícios relacionados