Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- A primeira derivada
(derivada de primeira ordem). - A segunda derivada
(derivada de segunda ordem).
Informações relevantes dadas:
- A função é a exponencial com expoente
. - Não há outros dados (valores numéricos) — só a expressão simbólica.
Passo 2
Antes de derivar, precisamos relembrar duas regras fundamentais (vou explicar bem devagar para ficar tranquilo):
- Regra da cadeia (para composição de funções): se
, então
Isto quer dizer: derivo a função externa em relação ao seu argumento e multiplico pela derivada do argumento (a função interna). Vou explicar com nomes claros: chamo
a função interna e
a externa; então
.
-
Derivada da exponencial: se
, então . Ou seja, a derivada de em relação a é novamente . -
Derivada de potência simples:
.
Também vamos precisar da regra do produto (para a segunda derivada): se
, então
Com essas regras em mente (regra da cadeia, derivada de
, derivada de
e produto), estamos prontos para calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
Passo 3.1 — identificar a função interna e a externa:
- Função externa
. - Função interna
.
Passo 3.2 — aplicar a regra da cadeia:
Passo 3.3 — substituir
e
:
Passo 3.4 — voltar a
:
Pronto: a primeira derivada é
. Note que não se esqueceu de multiplicar pela derivada do expoente
(esse é o erro mais comum na prova).
Passo 4
Calcular a segunda derivada
.
Temos
. Isso é produto de duas funções:
e
. Usamos a regra do produto.
Passo 4.1 — calcular
:
Passo 4.2 — calcular
usando novamente a regra da cadeia:
-
tem interna com derivada , e externa cuja derivada é . Assim
Passo 4.3 — aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 4.4 — simplificar os termos:
Fatorando
(opcional, deixa a forma mais compacta):
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que preferir na prova.
Passo 5
Pequenas verificações e dicas para a prova (sem cálculo extra difícil):
- Verifique em
: e Isso confirma que a expressão para não está errada por algum fator perdido. - Dica prática: sempre identifique claramente a função interna antes de aplicar a regra da cadeia; e, ao diferenciar um produto que tem um exponencial com composição, combine produto + cadeia como fizemos.
- Respire fundo: esse tipo de questão é direto quando se lembra das regras e não pula o passo da derivada da função interna.