Encontre as primeiras derivadas em relação a x, ou seja, f'(x), das seguintes funções: f(x) = (3 * raiz(x) - 5)^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia. Para isso, precisamos identificar partes da função que vão se encaixar nessa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções interna e externa. Imagine que a função externa seja algo como , onde é a função interna. A regra da cadeia é útil quando temos uma função dentro da outra, exatamente como aqui.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função externa em relação a . Se , então a derivada é:
Isso significa que estamos pegando o expoente e multiplicando pela função elevada a um expoente a menos um.

Passo 4

Em seguida, derivamos a função interna em relação a . Primeiro, lembrando que é o mesmo que , a derivada fica:
Aqui usamos a regra de derivação de potências.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia. Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Passo 6

Por fim, vamos simplificar a expressão:

Resposta

A primeira derivada de em relação a é:

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