Encontre as primeiras 5 iterações dos sistemas de equações lineares abaixo utilizando os métodos de GaussJacobi e Gauss-Seidel. Utilize como aproximação inicial o vetor nulo. Compute os erros absolutos e relativos em cada iteração para cada método aplicado. Para todos os métodos empregados utilize todas as casas decimais da calculadora. Finalmente, em cada sistema analisado pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula.
d. 4 x1+x2-x3+x4=-2,
x1+4 x2-x3-x4=-1,
-x1-x2+5 x3+x4=0.
x1-x2+x3+3 x4=1.

Passo 1

Temos um sistema de 4×4 e queremos aplicar os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel para obter as primeiras cinco iterações, partindo de x(0)=(0,0,0,0). Em cada iteração também calcularemos o erro absoluto e o erro relativo (norma ∞), usando todos os dígitos da calculadora.

Passo 2

Para o método de Gauss–Jacobi, isolamos cada xi na i-ésima equação e obtemos as fórmulas de iteração: x1(k+1)=(-2–x2(k)+x3(k)–x4(k))/4, x2(k+1)=(-1–x1(k)+x3(k)+x4(k))/4, x3(k+1)=(x1(k)+x2(k)–x4(k))/5 e x4(k+1)=(1–x1(k)+x2(k)–x3(k))/3.
Executando cinco iterações de Gauss–Jacobi e calculando erros: Iteração 1: x(1)=(-0.5000000000, -0.2500000000, 0.0000000000, 0.3333333333); erro abs=0.5000000000; erro rel=1.0000000000. Iteração 2: x(2)=(-0.5208333333, -0.0416666667, -0.2166666667, 0.4166666667); erro abs=0.2166666667; erro rel=0.4166666667. Iteração 3: x(3)=(-0.6479166667, -0.0697916667, -0.1958333333, 0.5652777778); erro abs=0.1486111111; erro rel=0.2294444444. Iteração 4: x(4)=(-0.6728298611, 0.0043402778, -0.2565972222, 0.5913194444); erro abs=0.0741319445; erro rel=0.1102254586. Iteração 5: x(5)=(-0.7130642361, 0.0018880208, -0.2519618055, 0.6445891204); erro abs=0.0532696759; erro rel=0.0747087299.

Passo 3

Para o método de Gauss–Seidel, isolamos cada xi e usamos imediatamente os valores atualizados: x1(k+1)=(-2–x2(k)+x3(k)–x4(k))/4, x2(k+1)=(-1–x1(k+1)+x3(k)+x4(k))/4, x3(k+1)=(x1(k+1)+x2(k+1)–x4(k))/5, x4(k+1)=(1–x1(k+1)+x2(k+1)–x3(k+1))/3.
Executando cinco iterações de Gauss–Seidel e calculando erros: Iteração 1: x(1)=(-0.5000000000, -0.1250000000, -0.1250000000, 0.5000000000); erro abs=0.5000000000; erro rel=1.0000000000. Iteração 2: x(2)=(-0.6250000000, 0.0000000000, -0.2250000000, 0.6166666667); erro abs=0.1250000000; erro rel=0.2000000000. Iteração 3: x(3)=(-0.7104166667, 0.0255208333, -0.2603125000, 0.6654166667); erro abs=0.0854166667; erro rel=0.1202539683. Iteração 4: x(4)=(-0.7378125000, 0.0357291667, -0.2735000000, 0.6823472223); erro abs=0.0273958333; erro rel=0.0371377404. Iteração 5: x(5)=(-0.7478940973, 0.0391853299, -0.2782111979, 0.6884302080); erro abs=0.0100815973; erro rel=0.0134868515.

Resposta

Conclusão: ambos os métodos convergem para a mesma solução, mas Gauss–Seidel atinge rapidamente erros menores. Após cinco iterações o erro absoluto de Jacobi ainda está em 0.0533, enquanto Seidel já está em 0.0101. Isso ilustra que usar valores atualizados dentro de cada passo (Gauss–Seidel) acelera a convergência em comparação ao método puramente paralelo de Jacobi.

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