Exercs. 1-10: Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 5^nn(3^n+1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita:
sumn=1^infty 5^nn(3^n+1)
Primeiro, precisamos calcular o limite:
lim n infty an+1an
Depois, vamos usar o Teste da Razão para descobrir se essa série converge, diverge ou se o teste não consegue nos dar uma resposta definitiva. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e o Teste da Razão na teoria das séries.

Passo 2

Vamos começar entendendo o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita. A regra é a seguinte:
Para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Agora, vamos aplicar isso na nossa série. Primeiro, identificamos an:
an = 5^nn(3^n+1)

Passo 3

Vamos simplificar an:
an = 5^nn cdot 3^n+1 = 5^nn cdot 3^n cdot 3 = 13 cdot 5^n3^n cdot n = 13 cdot (53)^n cdot 1n
Isso nos mostra que a série tem termos que crescem ou diminuem baseados na razão 53 e no fator 1n.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pedido:
lim n infty an+1an
Substituindo an:
an+1an = 1 + 1an
Então,
lim n infty (1 + 1an)
Mas como an se comporta quando n tende ao infinito? Observando a expressão simplificada de an, vemos que:
(53)^n cdot 1n infty quando n infty
Portanto,
1an 0 e lim n infty an+1an = 1 + 0 = 1

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Então,
an+1 = 5^n+1(n+1) cdot 3^(n+1)+1 = 5^n+1(n+1) cdot 3^n+2
E,
Simplificando:
an+1an = 5^n+1 cdot n cdot 3^n+1(n+1) cdot 3^n+2 cdot 5^n = 5 cdot n(n+1) cdot 3

Passo 6

Calculando o limite:
L = limn to infty 53 cdot nn+1 = 53 cdot limn to infty nn+1
Sabemos que:
limn to infty nn+1 = 1
Portanto,
L = 53 cdot 1 = 53 approx 1,666

Passo 7

Agora, vamos interpretar o resultado do Teste da Razão:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, L = 53 > 1. Então, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 5^nn(3^n+1) diverge pelo Teste da Razão.

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