Encontre as primeiras 5 iterações dos sistemas de equações lineares abaixo utilizando os métodos de GaussJacobi e Gauss-Seidel. Utilize como aproximação inicial o vetor nulo. Compute os erros absolutos e relativos em cada iteração para cada método aplicado. Para todos os métodos empregados utilize todas as casas decimais da calculadora. Finalmente, em cada sistema analisado pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula.
a. 3 x1-x2+x3=1.
3 x1+6 x2+2 x3=0.
3 x1+3 x2+7 x3=4.

Passo 1

O enunciado pede as primeiras 5 iterações dos métodos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel para o sistema
3x₁ – x₂ + x₃ = 1,
3x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 0,
3x₁ + 3x₂ + 7x₃ = 4.
O conteúdo envolve métodos iterativos para resolver sistemas lineares e cálculo de erros absoluto e relativo usando a norma-∞. Vamos usar aproximação inicial x^(0) = (0,0,0).

Passo 2

Derivamos as fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi isolando cada xᵢ em função dos valores da iteração anterior:
x1^(k) = 1 + x2^(k-1) - x3^(k-1)3, x2^(k) = -3 x1^(k-1) - 2 x3^(k-1)6, x3^(k) = 4 - 3 x1^(k-1) - 3 x2^(k-1)7

Passo 3

Aplicando Gauss–Jacobi a partir de x^(0)=(0,0,0) e definindo
Eabs^(k) = |x^(k) - x^(k-1)|infty, Erel^(k) = Eabs^(k)|x^(k)|infty,
obtemos:
x^(1) = 0.333333333300.5714285714,;Eabs^(1)=0.5714285714,;Erel^(1)=1.0000
x^(2) = 0.1428571429-0.35714285710.4285714286,;Eabs^(2)=0.3571428571,;Erel^(2)approx0.8333333333
x^(3) = 0.0714285714-0.21428571430.6632653061,;Eabs^(3)=0.2346938775,;Erel^(3)approx0.3538461538
x^(4) = 0.0408163265-0.25680272110.6326530612,;Eabs^(4)=0.0425170068,;Erel^(4)approx0.0672201160
x^(5) = 0.0368480726-0.23129251700.6639941691,;Eabs^(5)=0.0313411079,;Erel^(5)approx0.0472070000

Passo 4

Derivamos as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel atualizando cada componente imediatamente:
x1^(k) = 1 + x2^(k-1) - x3^(k-1)3, x2^(k) = -3 x1^(k) - 2 x3^(k-1)6, x3^(k) = 4 - 3 x1^(k) - 3 x2^(k)7

Passo 5

Aplicando Gauss–Seidel a partir de x^(0)=(0,0,0) e usando as mesmas definições de erro, temos:
x^(1) = 0.3333333333-0.16666666670.5000000000,;Eabs^(1)=0.5000000000,;Erel^(1)=1.0000
x^(2) = 0.1111111111-0.22222222220.6190476190,;Eabs^(2)=0.2222222222,;Erel^(2)approx0.3589743590
x^(3) = 0.0529100529-0.23280423280.6485260760,;Eabs^(3)=0.0582010582,;Erel^(3)approx0.0897515580
x^(4) = 0.0395565637-0.23595364050.6555987472,;Eabs^(4)=0.0133534892,;Erel^(4)approx0.0203644400
x^(5) = 0.0361492041-0.23660751780.6573392773,;Eabs^(5)=0.0034073596,;Erel^(5)approx0.0051840000

Resposta

Para o sistema dado, ambos métodos convergem, mas o método de Gauss–Seidel atinge erro absoluto e relativo significativamente menores em cada iteração ao aproveitar os valores já atualizados. Na 5ª iteração, Gauss–Jacobi ainda tem E_rel≈0.047, enquanto Gauss–Seidel já chega a E_rel≈0.005, demonstrando convergência mais rápida. Isso confirma em prática o que vimos em aula: usar valores mais recentes acelera o processo iterativo quando a matriz é bem comportada.

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