Exercs. 1-10: Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 100^nn!

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limntoinftyan+1an onde an=100^nn! e usar o teste da razão para verificar a convergência da série sumn=1^infty an. O conteúdo principal é o teste da razão de séries.

Passo 2

Escrevemos o quociente entre termos consecutivos:
an+1an=100^n+1/(n+1)!100^n/n!

Passo 3

Simplificando fator a fator, obtemos
an+1an=100^n+1100^ncdotn!(n+1)!=100cdot1n+1=100n+1

Passo 4

Agora calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty100n+1=0

Passo 5

Pelo teste da razão, se o limite L<1 então a série converge absolutamente. Como aqui L=0<1, concluímos que a série sumn=1^infty100^nn! converge.
Essa convergência também está alinhada com o fato de que a série de Taylor de e^100 é sumn=0^infty100^nn!, que é convergente.

Resposta

O limite do quociente é 0 e, pelo teste da razão, a série converge (absolutamente).

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