Exercício 9 Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola
. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 norte da origem na direção leste. Há uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro que está se movendo numa estrada que tem o formato de uma parábola, dada por $ y = x^{2} $. O carro começa a 100 metros a oeste e 100 metros ao norte da origem, seguindo em direção leste. Além disso, tem uma estátua localizada a 100 metros a leste e 50 metros ao norte da origem. O que precisamos descobrir é em qual ponto da estrada os faróis do carro vão iluminar a estátua.
Conteúdo envolvido: Geometria analítica, derivadas para encontrar a inclinação da curva, e noções de vetores para alinhar a direção dos faróis com a posição da estátua.
O que vamos precisar: Equação da estrada, posição do carro e da estátua, derivada da função para encontrar a direção do carro, e igualar a direção dos faróis à direção que liga o carro à estátua.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições iniciais. O carro começa a 100 metros a oeste e 100 metros ao norte da origem, então isso corresponde ao ponto
. A estátua está localizada a 100 metros a leste e 50 metros ao norte da origem, que é o ponto
.
Passo 3
Como o carro está se movendo ao longo da parábola $ y = x^{2} $, a posição do carro em qualquer instante pode ser representada como
.
Passo 4
Para que os faróis do carro iluminem a estátua, a direção dos faróis (linha que vai do carro para a estátua) precisa ser igual à direção do movimento do carro na estrada naquele ponto. Isso significa que o vetor que liga o carro à estátua deve ser paralelo à derivada da função no ponto onde o carro está.
Passo 5
Vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{2} $ para determinar a inclinação da estrada no ponto
. A derivada é:
Essa é a inclinação da estrada no ponto considerado.
Passo 6
Agora, vamos determinar o vetor que liga o carro à estátua. Se o carro está em
e a estátua está em
, o vetor é:
A inclinação desse vetor é:
Passo 7
Para que os faróis iluminem a estátua, a inclinação do vetor
deve ser igual à inclinação da estrada no ponto
. Portanto, igualamos as duas inclinações:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Expande o lado direito:
Leva tudo para um lado da equação:
Simplifica:
Passo 9
Resolvemos a equação quadrática $ x^{2} - 200x + 50 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = \frac{200 + 199.5}{2} = \frac{399.5}{2} = 199.75 $ metros
- $ x = \frac{200 - 199.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 $ metros
Como o carro está se movendo em direção leste a partir de
metros, a solução válida é $ x = 0.25 $ metros.
Passo 10
Agora, encontramos o ponto na estrada correspondente a $ x = 0.25 $ metros:
[ y = (0.25)^{2} = 0.0625 ) metros
Portanto, o ponto é
.
Resposta
Os faróis do carro estarão iluminando a estátua quando o carro estiver no ponto
sobre a estrada.