Exercício 9 Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola y=x^2. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 norte da origem na direção leste. Há uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro que está se movendo numa estrada que tem o formato de uma parábola, dada por $ y = x^{2} $. O carro começa a 100 metros a oeste e 100 metros ao norte da origem, seguindo em direção leste. Além disso, tem uma estátua localizada a 100 metros a leste e 50 metros ao norte da origem. O que precisamos descobrir é em qual ponto da estrada os faróis do carro vão iluminar a estátua.
Conteúdo envolvido: Geometria analítica, derivadas para encontrar a inclinação da curva, e noções de vetores para alinhar a direção dos faróis com a posição da estátua.
O que vamos precisar: Equação da estrada, posição do carro e da estátua, derivada da função para encontrar a direção do carro, e igualar a direção dos faróis à direção que liga o carro à estátua.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições iniciais. O carro começa a 100 metros a oeste e 100 metros ao norte da origem, então isso corresponde ao ponto (-100, 100). A estátua está localizada a 100 metros a leste e 50 metros ao norte da origem, que é o ponto (100, 50).

Passo 3

Como o carro está se movendo ao longo da parábola $ y = x^{2} $, a posição do carro em qualquer instante pode ser representada como y = x^2 .

Passo 4

Para que os faróis do carro iluminem a estátua, a direção dos faróis (linha que vai do carro para a estátua) precisa ser igual à direção do movimento do carro na estrada naquele ponto. Isso significa que o vetor que liga o carro à estátua deve ser paralelo à derivada da função no ponto onde o carro está.

Passo 5

Vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{2} $ para determinar a inclinação da estrada no ponto y = x^2 . A derivada é:
(x, x^2)
Essa é a inclinação da estrada no ponto considerado.

Passo 6

Agora, vamos determinar o vetor que liga o carro à estátua. Se o carro está em (x, x^2) e a estátua está em (100, 50), o vetor é:
v = (100 - x, 50 - x^2)
A inclinação desse vetor é:
mv = 50 - x^2100 - x

Passo 7

Para que os faróis iluminem a estátua, a inclinação do vetor v deve ser igual à inclinação da estrada no ponto (x, x^2). Portanto, igualamos as duas inclinações:
50 - x^2100 - x = 2x

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação:
50 - x^2100 - x = 2x
Multiplicamos ambos os lados por (100 - x):
50 - x^2 = 2x(100 - x)
Expande o lado direito:
50 - x^2 = 200x - 2x^2
Leva tudo para um lado da equação:
-x^2 - 200x + 2x^2 + 50 = 0
Simplifica:
x^2 - 200x + 50 = 0

Passo 9

Resolvemos a equação quadrática $ x^{2} - 200x + 50 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 200x + 50 = 0
x = 200 pm raiz(200)^2 - 4 cdot 1 cdot 502
x = 200 pm raiz40000 - 2002
x = 200 pm raiz398002
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = \frac{200 + 199.5}{2} = \frac{399.5}{2} = 199.75 $ metros
  2. $ x = \frac{200 - 199.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 $ metros
Como o carro está se movendo em direção leste a partir de x = 200 pm 199.52 metros, a solução válida é $ x = 0.25 $ metros.

Passo 10

Agora, encontramos o ponto na estrada correspondente a $ x = 0.25 $ metros:
[ y = (0.25)^{2} = 0.0625 ) metros
Portanto, o ponto é x = 0.25 .

Resposta

Os faróis do carro estarão iluminando a estátua quando o carro estiver no ponto (0.25, m, 0.0625, m) sobre a estrada.

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