Encontre os primeiros 3 termos não nulos da série de Taylor em torno de x=0:
1(1+x)^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de f(x)=1(1+x)^3 em torno de x=0. O conteúdo é expansão em série de Taylor (ou série binomial) para expoente negativo, e vamos precisar usar a fórmula geral do binômio de Newton para (1+x)^alpha.

Passo 2

Para resolver, lembramos da expansão binomial de Newton: para |x|<1,
(1+x)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanx^n,
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

Aqui temos alpha=-3. Vamos calcular os coeficientes para n=0,1,2:
  • Para n=0:
binom-30=1
  • Para n=1:
binom-31=-3
  • Para n=2:
binom-32=-3cdot(-4)2=6

Passo 4

Cada termo da série é binom-3nx^n. Logo, os três primeiros termos não nulos são obtidos para n=0,1,2.

Resposta

1 - 3x + 6x^2

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