Sejam
e
sequências em
tais que, para algum
, temos
para todo
. Se
, então
.
(a) Para qualquer
.
(a) Para qualquer
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos mostrar que, para todo real positivo
, a sequência
converge para 1 quando
. O conteúdo envolvido é limite de sequência, teorema do aperto (ou comparação) e desigualdade de Bernoulli, além de propriedades de limite de recíproco.
Passo 2
Caso
: definimos
, que é não negativa. Note que
Passo 3
Pela desigualdade de Bernoulli, para
vale
Passo 4
Daí
Passo 5
Como
e
, pelo teorema do aperto segue
. Logo
Passo 6
Caso
é trivial, pois
para todo
. Para
, escrevemos
com
. Assim
Passo 7
Já vimos que
. Como, se
e
, então
, concluímos que
também.
Passo 8
Portanto, em todos os casos
, vale
.
Resposta
1