Sejam an e bn sequências em R tais que, para algum N in N, temos 0 <= an <= bn para todo n >= N. Se lim n infty bn=0, então lim n infty an=0.
(a) Para qualquer r>0, lim n infty raiz[n]r=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos mostrar que, para todo real positivo r>0, a sequência r^1/n=raiz[n]r converge para 1 quando ntoinfty. O conteúdo envolvido é limite de sequência, teorema do aperto (ou comparação) e desigualdade de Bernoulli, além de propriedades de limite de recíproco.

Passo 2

Caso r>1: definimos an = raiz[n]r - 1, que é não negativa. Note que
(1 + an)^n = r

Passo 3

Pela desigualdade de Bernoulli, para an>= -1 vale
(1 + an)^n >= 1 + n,an

Passo 4

Daí
r = (1 + an)^n >= 1 + n,an Longrightarrow an <= r-1n = bn

Passo 5

Como 0 <= an <= bn e limntoinfty bn = 0, pelo teorema do aperto segue limntoinfty an = 0. Logo raiz[n]r = 1 + an to 1

Passo 6

Caso r=1 é trivial, pois 1^1/n=1 para todo n. Para 0, escrevemos r=1/s com s>1. Assim
raiz[n]r = 1raiz[n]s

Passo 7

Já vimos que raiz[n]sto1. Como, se xnto1 e xnneq0, então 1/xnto1, concluímos que raiz[n]rto1 também.

Passo 8

Portanto, em todos os casos r>0, vale limntoinftyraiz[n]r=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados