O valor de uma adega de vinho dois anos após a compra é de R$ 1000,00. Seu preço é cada vez mais depreciado com o tempo, de acordo com a taxa 1000,00 Seu preço é cada vez mais depreciado com o tempo, de acordo com a taxa , onde , onde é seu valor é seu valor anos após a compra. Qual o valor do aparelho 10 anos após a compra?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma adega de vinho que, após 2 anos de compra, vale R$ 1000,00. O valor dessa adega está diminuindo com o tempo, e a taxa dessa depreciação é dada pela fórmula , onde é o valor da adega depois de anos. Nosso objetivo é descobrir quanto essa adega estará valendo 10 anos após a compra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração de funções para encontrar a função valor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada representa a taxa de variação do valor da adega ao longo do tempo. Para encontrar a função , que nos dá o valor da adega em qualquer tempo , precisamos integrar .

Passo 3

Vamos integrar a função V(t) = integral V'(t) , dt = integral -100 t^-3 , dt em relação a :

Passo 4

Para integrar integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C , aplicamos a regra da potência:
V(t) = -100 ( t^-2-2 ) + C = 50 t^-2 + C
onde V(t) = 50t^2 + C é a constante de integração. No nosso caso, :
Ou seja:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial que nos foi dada: aos 2 anos, o valor da adega é R$ 1000,00. Substituímos 1000 = 502^2 + C 1000 = 504 + C 1000 = 12,5 + C C = 1000 - 12,5 C = 987,5 e na equação para encontrar :

Passo 6

Agora que encontramos V(t) = 50t^2 + 987,5 , podemos escrever a função completa do valor da adega ao longo do tempo:

Passo 7

Finalmente, para encontrar o valor da adega 10 anos após a compra, substituímos V(10) = 5010^2 + 987,5 = 50100 + 987,5 = 0,5 + 987,5 = 988 na função :

Resposta

O valor da adega 10 anos após a compra é de R$ 988,00.

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